Im letzten Video haben wir uns mit besonderen Abbildungen beschäftigt, die gewissen Eigenschaften

genügen, den sogenannten Phasenflüssen, und wir haben in einem Beispiel gesehen, dass die Lösung

eines autonomen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems gerade durch solch einen Fluss

realisiert wurde. In diesem Video wollen wir das Ganze noch ein bisschen besser mathematisch

verstehen und nicht anhand eines Beispiels, sondern wir wollen zeigen, dass die Lösung eines

autonom gewöhnlichen Differentialgleichungssystems unter gewissen Bedingungen gerade lokale Flüsse

darstellen. Und dafür müssen wir zuerst natürlich einführen, was wir unter einem lokalen Fluss

überhaupt verstehen. Die Kernidee in diesem Video wird es sein, dass wir den Existenz- und

Eindeutigkeitssatz von Picar Lindelöf anwenden. Und darum wollen wir noch mal ganz kurz zusammenfassen,

was dieser uns gesagt hat. Und zwar wissen wir zuerst nach dem Satz von Picar Lindelöf,

und zwar den lokalen Satz, den hatten wir uns in einem der vorangegangenen Videos schon noch mal

im Detail angeschaut, wissen wir Folgendes. Wissen wir, dass für jeden Anfangswert,

den wir uns vorgeben, für jeden Anfangswert aus dem Phasenraum, das sei eben das x0,

solch eine lokale Epsilon-Umgebung existiert. Und das wollen wir mal schreiben als ein Epsilon,

das jetzt abhängt von dem Punkt, den wir wählen, x0. Es gibt kein globales Epsilon,

sondern das hängt immer vom Punkt ab. Das soll diese Abhängigkeit von x0 bedeuten,

sodass wir immer lokal eine eindeutige Lösung erhalten. Das wollen wir hier vorheben,

das ist die wichtigste Aussage. Lokal eine eindeutige Lösung, und die wollen wir phi nennen,

ähnlich wie auch die Flussfunktion im letzten Video, die eben auf diesem Existenzintervall

lebt. Dazu schreibe ich minus Epsilon x0 bis plus Epsilon von x0, die dann abbildet nach u.

Das sagt uns der Picard-Linde-Löf, dass die existiert. Und wann? Der Satz ist noch nicht

zu Ende, sodass es lokal eine eindeutige Lösung gibt. Das ist jetzt die Voraussetzung,

die dafür gelten muss. Die rechte Seite des gewöhnlichen Differentialsgleichungssystems f,

die muss lokal-Lipschitz-stetig sein. Das hatten wir uns auch noch mal genau angeschaut.

Das wollen wir hier festhalten, falls die rechte Seite, die wir groß f benennen möchten,

lokal-Lipschitz-stetig ist, und zwar bezüglich der y-Variablen,

der y-Variablen ist. Genau, in dem Fall müssen wir also, wenn wir gleich von lokalen Flüssen

sprechen oder von kontinuierlichen dynamischen Systemen, immer unser Zeitintervall eingeschränkt

wählen. Das heißt, das bedeutet, im folgenden schränken wir, das war vorher immer der ganze

nicht-negative Anteil der reellen Zahlen, unser Zeitintervall. Jetzt sagen wir,

wir machen das Ganze immer nur auf den lokalen Intervallen, die uns Picard-Linde-Löf verspricht.

Das wollen wir verschränken, wir das Zeitintervall, i hatten wir es genannt,

i und zwar immer in Abhängigkeit des Punktes x0, eben gerade als diese Epsilon-Umgebung ein,

sodass wir nicht mehr auf ganz i gleich r0 plus arbeiten können, anstatt wie vorher

i einfach zu wählen als eine Teilmenge von r0 plus, also von den nicht-negativen reellen Zahlen.

Das machen wir jetzt nicht mehr. Das heißt, wir können jetzt auch nur noch gewisse Tupel betrachten,

wenn wir den erweiterten Phasenraum definieren. Das heißt, wir betrachten nun folgende Tupel

und die sehen jetzt wie folgt aus. Wir schauen uns jetzt immer eine Zeitvariable t an zu einem

Startpunkt x0 und das Ganze soll jetzt leben eben in diesem Existenzintervall i von x0,

im kathesischen Produkt mit dem Punkt x0 selbst. Das heißt, wir gehen jetzt hier nicht auf ganz i

und ganz u, wie wir es kennen von der Flussgleichung, sondern wir haben uns jetzt eingeschränkt und wir

fixieren, das ist wichtig, das x0 und schauen uns nur an, was passiert, wenn wir die Zeitvariable

verändern. Also wobei wir explizit das x0 fixiert halten und t ist eben aus dem lokalen

Existenzintervall, so wie wir es definiert haben. Das soll jetzt so ein bisschen die Idee sein,

wie wir von globalen Phasenflüssen zu lokalen Phasenflüssen kommen, indem wir eben diese

Einschränkung auf die Existenzintervalle nach Picard und Deloeuf betreiben. Wenn wir das verstanden

haben, dann können wir jetzt auch schon definieren, was ein lokaler Fluss ist. Folgende Definition,

ein lokaler Fluss. Wir wählen jetzt erstmal wieder einen Phasenraum oder eine offene Teilmenge aus dem

rn, sei u Teilmenge rn, eine offene Teilmenge und wir wählen jetzt einen erweiterten Phasenraum,

eben durch diese Einschränkung, die wir oben beschrieben haben. Und das wollen wir hier vielleicht