Willkommen zurück zu Medizintechnik 2. Ich darf euch heute ein bisschen was zur Systemtheorie erzählen.

Das ist also quasi die Grundlagen in Mathematik und Bildverarbeitung. Ich versuche euch so ein

bisschen zusammenzufassen, damit ihr die jetzt schon verstehen könnt. Das sind alles Dinge,

die in den weiteren Semestern nochmal im Detail kommen. Ich versuche jetzt auch hier die

Systemtheorie im Wesentlichen ohne Formeln, ein paar Formeln werden wir schon brauchen,

aber nur mit wenigen Formeln zu erklären, sodass ihr jetzt schon mal ein bisschen den Überblick

bekommt, warum diese Verfahren für euch wichtig sind und warum ihr euch hier mit der Mathematik

in Zukunft auch noch ein bisschen beschäftigen solltet. So, jetzt schalten wir mal hier wieder

in den Vollbildmodus, damit ihr auch sehen könnt, was wir auf den Folien haben. Hier

die Systemtheorie werden wir erst so ein bisschen zusammenfassen. Also wir haben ja jetzt schon

gesehen, dass wir irgendwie solche medizinischen Bilder haben und die müssen wir irgendwie verarbeiten,

die müssen wir auch im Rechner darstellen und dazu brauchen wir eben die Systemtheorie und

in der Systemtheorie können wir eben auch solche Effekte beschreiben, dass die Bilder unterschiedliche

Auflösungen haben, dass die unterschiedlich groß sind und unterschiedlich große Pixel haben. Das

hat natürlich alles Implikationen. Die Pixelgröße, das hat mit Frequenzen zu tun. Je kleinere

Frequenzen ich darstellen kann, desto kleinere Pixel habe ich eben auch und diese brauchen wir,

um formal zu verstehen, was denn hier mit unseren Algorithmen passiert. Deswegen ist die Systemtheorie

also wirklich grundlegend für unsere medizinische Bildverarbeitung und damit kann man dann auch

theoretisch Grenzen der Systeme erfassen. Also was ist noch darstellbar, was ist nicht mehr darstellbar

und das kann ich dann auch entsprechend vorher schon bestimmen, bevor ich dieses System überhaupt

zusammenbaue und deswegen ist es eben wichtig, diese Dinge auch von der theoretischen Seite ein

bisschen anzugucken. Wir fangen an mit Signalen und Systemen und dazu wollen wir uns jetzt erstmal

angucken, was ist überhaupt ein Signal. Man kann das relativ grob fassen, wie hier Roland Prima in

seiner Einführung in die Signalverarbeitung getan hat. Ein Signal ist eine Funktion, die Informationen

transportiert über das Verhalten der Attribute irgendeines Phänomens. Das ist jetzt recht

abstrakt, also schauen wir uns das doch mal genauer an. Ein Beispiel für so ein Signal, das ihr

wahrscheinlich schon ganz oft gesehen habt, ist zum Beispiel so ein EKG, das wir quasi über die Zeit

eine veränderliche Kurve haben, die uns dann irgendwas sagt. Also das ist ein relativ einfaches

Signal, weil wir hier eben nur die Zeit haben und das Auf und Abgehen von irgendeinem Pegelwert und

dieser Pegelwert beschreibt uns hier den Zustand des Herzens. Wir können sehen, schlägt das Herz

eben in einem Rhythmus, sind dort Ausreißer, verhält es sich irgendwie komisch, das können wir

aus diesen Signalen ablesen. Deswegen sind Signale für uns grundlegend. Natürlich beschäftigen wir

uns in dieser Vorlesung relativ wenig mit EKGs, sondern natürlich mit Bildern. Aber Bilder sind

genauso Signale, medizinische Bilder sind genauso Signale und für diese Signale gilt die Systemtheorie

genauso. So, also wir brauchen Signale und Systeme. Ein Signal ist eine Funktion, die Information

repräsentiert. Signale werden verarbeitet und transformiert durch Systeme und diese Systeme

kann man darstellen als Operator, hier als Operator H. Konkret ist also ein System, das

irgendeine Funktion nimmt. Hier mathematisch gesehen schreiben wir die Funktion auf als F von T,

F von T haben wir diese Black Box, diese Black Box macht H und am Ende kriegen wir G von T.

Das ist schon alles, was unser System tut. Es nimmt also ein Signal und verändert das. Naja,

jetzt könnten da irgendwelche Dinge auftreten und wie das so ist mit den Black Boxes, die sind

natürlich jetzt schwierig zu verstehen und man kann sehr wenig darüber aussagen. Deswegen ist

es vielleicht ganz gut ein paar Charakteristika einzuführen, die uns dann helfen, so ein System

zu beurteilen. Und im Folgenden möchte ich eben genau diese drei Eigenschaften einführen,

die für uns besonders wichtig sind. Und zwar, wir können abstrakt so ein System beschreiben als FI

von T. Also T ist der Zeitpunkt, an dem gemessen wird und I ist hier ein Index, das heißt wir sind

auch gar nicht an so ein eindimensionales System gebunden, wie gerade beim EKG. Zum Beispiel

könnte das jetzt auch mehrere Messwerte sein, zum Beispiel ein Vektor. Also wir hatten ja auch

gerade schon mehrere Spuren in dem EKG und das könnten jetzt zum Beispiel verschiedene EKG-Kanäle

sein. Die werden von dem System verarbeitet, das macht irgendwas damit und am Ende kriege ich eben