Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Herzlich willkommen zum zweiten Teil der Nachrichtentechnischen Systeme heute Nachmittag oder Mittag.

Ich hoffe, dass wir genügend Kaffeeintus haben, dass wir jetzt die 90 Minuten nicht einschlafen.

Ich tue mir da leichter, weil ich ja agieren muss als Sie.

Aber wenn ich da einen ganzen Tag auf so Konferenzen im Hörsaal sitze,

dann weiß ich genau, wie es einem geht, nach dem 6., 7., 8. Vortrag immer noch Konzentration zu bewahren.

Ist nicht so einfach.

Okay, wir waren beim Thema Impulsinterferenz-freie Übertragung.

Wir haben festgestellt, wir wollen auf der Empfangsseite unbedingt einen Match-Filter haben für unseren Grundimpuls,

weil dann wir die Detektion mit möglichst hohem Signal-Störleistungsverhältnis durchführen können.

Besser geht es nicht.

Und damit wir dann am Ausgang des Match-Filters impulsinterferenz-frei sind,

muss also der dort entstehende Impuls Nullstellen zu den Abtastzeitpunkten der Nachbarnpulse haben.

Das heißt, unser Impuls, der dort entsteht, sollte bei T, 2T, 3T, –T, –2T usw. Nulldurchgänge besitzen.

So einen Impuls nennt man Nyquist-Impuls.

Dieser Nyquist-Impuls entspricht aber jetzt der autocorrelierten der Faltung des Impulses mit seinem eigenen konjugiert komplexen Spiegelbild

und nicht dem Sendeimpuls selbst.

Und weil im Spektralbereich ja das eine Multifikation ist des Spektrums mit sich selber, spricht man von einem Wurzel-Nyquist-Impuls.

Oder wenn Sie die Faltung als Produkt auffassen, dann kann man natürlich auch quadrieren, also etwas mit sich selber falten,

und dann kann man fragen, was mit sich selber erfalten gibt, irgendetwas Unbekanntes, und das ist dann eine Wurzel bezüglich der Faltung.

Also, wie Sie diesen Wurzelbegriff auslegen wollen, das ist mir egal, ob im Zeit- oder Frequenzbereich.

Jedenfalls spricht man von einem Wurzel-Nyquist-Impuls.

Diese Wurzel-Nyquist-Impulse haben die Eigenschaft, die gigantische Eigenschaft, dass sie bezüglich ganzzahligen Verschiebungen zu sich selber jeweils orthogonale Funktionen sind.

Ich nehme einen Impuls, verschiebe ihn um T und sehe, das innere Produkt ist Null. Oder verschiebe ihn um 2T, ist Null.

Und damit heißt das, wenn ich Wurzel-Nyquist-Impulse zum Übertragen verwende, dass ich praktisch jedes Datum, jeden Amplituden-Koeffizienten in einer neuen Dimension sende.

Und das zeichnet sich auch dadurch aus, dass wir festgestellt haben, die Autokorrelationsfunktion der Störung am Ausgang des Matchfeldes ist proportional zum Nutzimpuls.

Und der Nutzimpuls hat äquidistante Nullstellen, hat auch diese Autokorrelationsfunktion äquidistante Nullstellen.

Das heißt, aufeinander folgende Gaussche-Zufallswerte sind nicht korreliert.

Und nicht korreliert die Gaussche-Zufallsvariable heißt, sie sind statistisch unabhängig. Nur für Gaussprozesse gilt das.

Und das heißt, ich kann modellieren von zeitdiskretem Signal vor dem Impuls auf der Sendeseite und nach dem Matchbild, danach der Abtausung auf der Empfangseite,

einfach durch einen geradeaus Weg für das Nutzsignal nichts und Addition von weißen zeitdiskreten Rauschen mit minimaler Varianz. Bitte passen Sie auf.

Zeitkontinuierliches weißes Rauschen hat unendliche Leistung, zumindest theoretisch. Zeitdiskretes weißes Rauschen kann jede beliebige Leistung haben.

Das heißt, nur aufeinander folgende Werte mit einer gewissen Varianz, das ist die Leistung, sind statistisch unabhängig oder sind unkorreliert.

Also im zeitdiskreten ist dieses Unendlichkeitsproblem ja nicht vorhanden.

Okay, also wir haben Wurzelnüggwüstimpulse zu verwenden und das haben wir jetzt noch nicht durchgemacht. Wir haben also jetzt hier dieses Modell, das Detektionssignal hier an dieser Stelle.

Detektionssignal, ich glaube dieses, ist irgendwo richtig hingeschrieben. Und wenn wir jetzt das Rauschen anschauen, also wir kriegen einfach das Nutzsignal und hier kriegen wir das Rauschen,

dann können wir also schauen, was hat denn das für eine Autokorrelationsfunktion an den Stellen K oder Kappa mal T, dann ist das die AKF vom weißen Rauschen, da würde besser N0 halbe stehen,

aber na, lassen wir mal N0, wir sind jetzt schon komplex, dann steht N0 und die Autokorrelationsfunktion ist ein Delta. Weißes Rauschen, 1 im Frequenzbereich, Delta im Zeitbereich,

dann gefaltet mit HE von T, gefaltet mit HE von konjugiert komplex von minus Tau, das ist also Gamma Quadrat mal G von Tau gefaltet mit G von minus Tau und das ist die Nyquistfunktion

und diese Nyquistfunktion liefert genau EG an der Stelle Null Energie, Phi G G an der Stelle Null ist natürlich die Energie und Null außerhalb, weil wir ja hier diese Nullstellen haben.

Damit ist die Autokorrelationsfunktion Null, jetzt haben wir noch Gamma Quadrat, unsere Proportionalitätskonstanz, die Gamma, Entschuldigung, haben wir festgestellt,

das sollte 1 durch G sein, 1 durch EG sein, damit wir einfach hier den Weg geradeaus bekommen, jetzt haben wir im Zähler EG, im Nenner haben wir EG Quadrat, bleibt also einmal EG

und Sie sehen diese Rauschvarianz, die hier rauskommt für das zeitdiskret Rauschen ist Null, für das komplexwertige zeitdiskrete Rauschen ist Null durch EG.

Durch EG, das heißt, wir haben das einfach so normiert, wenn das Nutzsignal groß ist im Vergleich zum Rauschen, wir aber dem Nutzsignal den Proportionalitätsfaktor 1 geben,

dann wird einfach das Rauschen proportional runtergerufen, wenn diese Energie groß ist. Und Sie sehen Rauschleistungstichte heißt ja Watt pro Herz, das ist auch Watt mal Sekunden

und Energie ist auch Watt mal Sekunden, also es gibt wirklich eine dimensionslose Varianz hier.

Wir haben jetzt einfach dimensionslose Amplitudenkoeffizienzen Plus Minus 1, Plus Minus 3 mit Rauschvariablen überlagert,

mit dieser Varianz am Ausgang vom Metzgfilter statistisch unabhängig und sind hier und damit ist eigentlich alles geklärt.

Ok, jetzt müssen wir uns ein paar so Nyquist-Funktionen anschauen.

Oder zuerst einmal machen wir, was bedeutet Nyquist-Eigenschaft, diese equidistanten Nullstellen im Frequenzbereich?