So, in diesem Abschnitt werden wir uns mit einigen Eigenschaften der Lösungen der Laplace Gleichungen,

sogenannten harmonischen Funktionen beschäftigen.

Die Bezeichnung harmonisch kommt eigentlich ursprünglich aus der Funktionentheorie.

Im Zweidimensionalen kann man das auch als komplexe Differenziation sehen.

Da kann man zeigen, dass komplex differenzierbare Funktionen genau harmonisch sind in diesem

Sinne, wenn ich die komplexen Zahlen in den R2 einbette.

Also wer Funktionentheorie gehört hat, kennt vielleicht schon einiges von dem, was jetzt

kommt.

Wir sagen eine Funktion u von omega nach r heißt harmonisch.

Also zweimal differenzierbar ist natürlich und Laplace u identisch 0 ist in omega.

Okay, es gibt dann auch noch zwei andere Dinge, die ganz interessant sind, oder eventuell

interessant sind.

Super harmonisch, wenn Laplace u kleiner gleich 0 ist und super harmonisch, wenn Laplace

u größer gleich 0 ist.

Manchmal gewisse Eigenschaften kann man auch beweisen, wenn man nicht die Gleichheit, sondern

nur eine der beiden Ungleichungen betrachtet.

Wenn wir jetzt denken für n gleich 1, da ist es relativ trivial.

Da spricht man nicht viel von harmonisch, das gibt es eigentlich nicht, es ist einfach

um 2 Strich gleich 0, dann würde man einfach sagen, es sind lineare oder affin lineare

Funktionen.

Und super harmonischen sind dann genau die Konvexen oder Konkafenfunktionen, wo die

zweite Ableitung ein Vorzeichen hat.

Also entweder so oder so, das wäre Sub und das wäre super harmonisch.

Es sind aber trotzdem einige Eigenschaften, die ganz interessant sind und die wir auch

im allgemeinen Fall sehen werden.

Wenn wir uns solche Konvexen oder Konkafenfunktionen ansehen, dann wissen wir, in dem Fall hat die

Kompressor, das ist das Maximum innen, aber das Minimum einer Konkafenfunktion sitzt immer

am Rand, wenn ich das auf einem beschränkten Gebiet oder Intervall mir anschaue.

Und umgekehrt, das Maximum einer Konvexenfunktion ist auch immer am Rand.

Das Minimum weiß man nicht, das kann entweder so sein oder so sein, das Minimum könnte

entweder im Inneren oder am Rand sein, aber das Maximum ist auf jeden Fall immer am Rand.

Das heißt, das wird eine interessante Eigenschaft sein, die wir uns anschauen, auch für allgemeine

harmonische Funktionen, ein sogenanntes Maximum Prinzip.

Wir beginnen mit einer noch einfacheren Eigenschaft, die, ja, das sehen wir im Eindimensionalen

auch ganz trivial, wie gesagt, die harmonischen Funktionen sind die affin-linearen Funktionen.

Wenn ich mir da eine Stelle x rausnehme und ich mache ein symmetrisches Intervall um diesen

Punkt und ich rechne den Mittelwert aus dieser linearen Funktion oder dieser affin-linearen

Funktion, dann kommt genau wieder der Funktionswert raus, weil es jemand links und rechts, das

symmetrischt, der Unterschied weghebt.

Und das ist eine Eigenschaft, die wir auch allgemein tatsächlich für harmonische Funktionen,

auch wenn die vielleicht viel komplizierter sind, in mehreren Dimensionen beweisen können.

So, das ist der erste Satz in diesem Abschnitt, die sogenannte Mittelwert-Eigenschaft.

Ja, wir nehmen an, U in C2 von Omega sei harmonisch

und R sei so, dass die Kugel mit Radius R um den Punkt x immer noch eine Teilmenge ist

von Omega.

Also wenn ich jetzt irgendwo hier bin in einem Gebiet Omega, dann nehme ich irgendeine Kugel,

die halt noch reinpasst.

Das ist Omega das ganze Gebiet, das ist x, das ist die Kugel BR von x.

Und dann gilt Folgendes, diese Kugel ist sonst beliebig, das ist nicht eine spezielle Kugel,

sondern wirklich jede, die da reinpasst.