Am Freitag den Begriff der Spannung eingeführt und hatten uns dazu ein

infinitesimales kleines Volumenelement angeschaut. Das heißt, als ein kleiner

Würfel aus einem größeren dreidimensionalen Objekt rausgeschnitten.

Und wir wollen jetzt weitermachen an dem Punkt, dass wir die

Gleichgewichtsbedingungen untersuchen. Das heißt, wir betrachten das

Gleichgewicht, ja was sonst, am infinitesimalen

Volumenelement.

So, dazu zeichnet man sich am besten so einen kleinen Würfel mal hin.

Das soll jetzt so ein kleiner Ausschnitt sein und wir führen ein

Koordinatensystem ein. X, Y, Z und tragen jetzt an diesen Würfel alle

Spannungen ein, beziehungsweise Kräfte, die dort wirken. Und um die Zeichnung jetzt

nicht zu voll zu machen, betrachten wir nur die Anteile in X Richtung. Dann kann

man die Y- und Z-Richtung sich dann entsprechend analog überlegen.

Da kommt nichts Neues dabei raus. So, es gilt weiterhin die Schnittgrößendefinition,

dass am positiven Schlittufer positive Größen in positive Richtung

eingezeichnet werden. Das heißt, hier auf dieser Fläche habe ich jetzt das

positive Schlittufer einer Fläche, deren Normale in X Richtung zeigt. Das heißt,

ich habe hier eine Kraft in X Richtung wirken auf diese Fläche und die kann ich

darstellen als ein Sigma XX. Und ich lasse das mal offen, weil da noch was dazu

kommt. Und hier drüben auf der rückwärtigen Fläche habe ich das Sigma XX

auf dem negativen Schlittufer. Die greift hier auf der Fläche hier hinten an und

das hier vorne. Also auf den beiden Stirnflächen mit Normalen in X Richtung.

Auf der Seite. So, jetzt habe ich die Spannung und diese Ecke hier hinten,

der gebe ich die Koordinate X, Y und Z.

Dann habe ich hier einen infinitesimalen Ausschnitt. Ich habe hier dieses Stück

ist dann ein dy, die Höhe des Würfels und die Tiefe sozusagen des Würfels ist dz.

Das heißt, diese Spannung Sigma XX wirkt ja über diese Fläche hier hinten, die ich

jetzt so schraffiert gezeichnet habe. Und die ist einfach dy mal dz. Wenn

das hier dy und das dz ist. So, jetzt bin ich auf dem positiven Schlittufer.

Befinde ich mich nicht bei dem Schlitt bei X, sondern ein Schlitt, der ein Stückchen

weiter rechts liegt. Also um ein dx weiter. Das Sigma XX muss dann nicht mehr dasselbe

Sigma XX sein, sondern es hat sich ein bisschen geändert. Und es hat sich dadurch geändert,

dass ich in X Richtung weitergegangen bin. Das heißt, ich kriege hier einen Zuwachs der

Größe d Sigma XX dx mal dx. Dieser Kringel ist die partielle Ableitung von dem Sigma XX nach X.

Und auch das wirkt auf einer Fläche dy dz. Also noch mal langsam zum Mitdenken. Ich schneide hier

eine Fläche frei, deren Normale in X Richtung zeigt. Also die normale auf der Fläche, die

Senkrecht auf der Fläche ist die positive X Richtung. Also ist das das positive Schnittufer.

Ich lege hier einen Spannungsvektor frei Sigma X, also ein Sigma Vektor, der auf einer Fläche

mit normalen X Richtung lebt. Und von dem betrachte ich die X Komponente. Darum Sigma XX. Am positiven

und das gleiche am negativen Schnittufer. Da zeigt er halt in die negative Richtung. Wenn ich jetzt

Gleichgewicht betrachte, dann kann ich nicht Spannung nehmen. Ich darf nicht das Gleichgewicht

von Spannung nehmen, sondern ich muss Gleichgewicht von Kräften immer nehmen. Das heißt, ich muss

diese Spannung zunächst einmal mit der Fläche multiplizieren, auf der sie wirkt. Und das ist

halt diese Fläche hier hinten dy, dy ist das, mal dz. Und die gleiche Fläche ist hier vorne dy dz.

Das ist das da. Also eine kleine Fläche infinitesimal klein, darum ein da. Das gibt diesen Term und

diesen hier. So und jetzt hat sich das Sigma XX aber ein bisschen geändert, womöglich dadurch,

dass ich nicht mehr bei X bin, sondern um ein dx hier weitergegangen bin. Das ist nicht der

gleiche Schnitt hier, sondern die beiden Schnitte. Der Würfel hat eine Ausdehnung von dx in der

Richtung. Ich kann nicht hier unten dran schreiben. dx. Da bin ich um ein dx weitergegangen und wenn

ich jetzt mein Ort ändere um ein kleines dx, dann ändert sich auch die Spannung und sie ändert