Wir hatten am Freitag mit dem Abschnitt 2.2 angefangen, Zug, Druckstäbe und zwar statisch

unbestimmte Aufgaben, also 2.2.2 und hatten an einem einfachen Beispiel gesehen, dass zum

Beispiel eine Temperaturerhöhung in einem statisch unbestimmten System zu Druckspannung

führt. Und wir wollen uns das jetzt nochmal an einem allgemeinen Fall nochmal anschauen,

wie man das lösen könnte. Also praktisch bloß die Skizze des Lösungsweges. Wir haben ein System,

bestehend aus einem Stab, der jetzt nicht konstanten Querschnitt besitzt. Jetzt hier

mal angedeutet in dieser Form. Er hat die Länge L und ist oben und unten fest eingespannt. Er

habe die Querschnittsfläche A von X, wobei wir X meinetwegen von oben zählen lassen. Das heißt,

der Querschnitt ist nicht konstant. Wir wollen ihn erwärmen mit einer Temperaturerhöhung Teta von X,

das heißt auch ungleichmäßig. Das heißt, Temperatur könnte irgendwie Funktion von X sein

und er soll auch noch belastet sein durch eine Streckenlast in Längsrichtung N von X,

also Kraft pro Länge. Um das, wenn man so etwas angehen möchte, schneidet man frei. Es bietet sich

jetzt hier an, ein kleines infinitesimales Stückchen herauszuschneiden, also eine kleine

Scheibe aus dem System. Wenn man das macht, dann habe ich hier diese kleine Scheibe,

an der Stelle X geschnitten und sie hat die Länge hier, die dicke dX. Dann habe ich hier schon das

übliche, was man schon kennt. Ich habe hier das negative Schnittufer, ich habe hier S,

die Startkraft von X und hier auf der anderen Seite habe ich S von X plus dX und das kann

ich wieder schreiben als S von X plus ein dS. Und dann wirkt ja noch diese Streckenlast hier auf den

Stab, das heißt, hier ist noch ein kleiner Anteil und die Größe hier ist N von X mal dX,

mal dieses kleine Längenstück, über das es wirkt. Dann stellt man jetzt die

Gleichgewichtsbedingungen auf, also das, was man immer macht.

Also Gleichgewicht an diesem infinitesimalen Element. Gut, Summe der Kräfte in X-Richt,

ist gleich Null. Da habe ich hier unten diesen Anteil S von X plus ein dS. Ich habe plus ein

N von X mal dX als äußere Last und am anderen Schnittufer wieder S von X nach oben. Daraus

folgt dann, wie üblich, dass sich diese Anteile hier aufheben und ich kann hinschreiben, dass das

dS gleich minus N von X dX ist und dann kann ich das durch das dX teilen. Und da steht dann dS von

X durch dX ist gleich minus dieses N von X. Das heißt, die Änderung der Stabkraft dS nach dX ist

gleich minus diese Streckenlast in Längsrichtung. Das hatten wir schon mal. Jetzt braucht man dazu

also das war diese Gleichgewichtsbedingungen in Längsrichtung. Die kennen wir schon. Jetzt

nehme ich die Kinematik dazu. Und zwar habe ich ja hier ein eindimensionales Problem. Ich habe nur

eine Dehnung Epsilon von X und die ist dU von X, die Verschiebung, abgeleitet nach X. Mehr kann

man dazu jetzt noch nicht sagen. Und das dritte, was ich brauche, ist mein Stoffgesetz. Und das

sieht folgendermaßen aus, dass die Dehnung Epsilon von X ist Sigma von X durch den E-Modul,

also Spannung durch E-Modul plus die Wärmedehnung Alpha mal dieses Teta von X. E war der

Elastizitätsmodul und Alpha der Wärmeausdehnungskoeffizient. So, jetzt muss ich das sozusagen nur

richtig ineinander einsetzen, um zu den Gleichungen zu kommen, die man haben möchte.

Folgendermaßen, ich kann erst einmal hier das Epsilon, die Dehnung, ausdrücken durch die

Verschiebung, indem ich die Kinematik hier einsetze. Also ich sage Epsilon von X ist dU nach dX. Das

heißt, ich habe hier dU nach dX ist gleich, so Sigma durch E und Sigma, das kann ich mir

sozusagen aus dem Gleichgewicht noch schreiben, Sigma von X ist S von X durch A von X. Also

eindimensionaler Zugdruckstab. Die Spannung ist einfach Kraft pro Fläche in dem Fall,

sodass ich hier also hinschreiben kann, dass Sigma als S von X durch E mal A von X plus Alpha mal

dieses Teta von X. So, das sortiert man sich jetzt noch einmal um. Ich multipliziere mit dem E A der

Dehnsteifigkeit durch, dann habe ich hier eA von X mal dU nach dX ist gleich das S von X plus e mal

A von X mal Alpha mal Teta von X. Gut, jetzt habe ich da eine Gleichgeschichte, da steht das S von

X drin, die Stabkraft. Die Stabkraft kenne ich aber nicht. Das S von X kenne ich nicht, ich kenne nur

die Ableitung. Ich kenne das dS nach dX, das ist gleich der eingeprägten Streckenlast N oder Minus

N. Jetzt muss ich das noch einmal ableiten, um das einsetzen zu können. Das heißt, ich

bilde jetzt die Ableitung von d nach dX, diesen ganzen Ausdrucks hier, eA von X dU dX ist gleich

dS von X nach dX plus dieser Ausdruck d nach dX von e mal A von X Alpha Teta von X in dieser Form.