Schönen guten Tag, meine Damen und Herren. Wir haben am Freitag angefangen mit den

Energiemethoden und ich hatte versucht, Ihnen so ein bisschen diesen Dualismus zwischen dem

Prinzip der virtuellen Kräfte und dem Prinzip der virtuellen Verschiebung nahe zu bringen.

Und wir wollen heute das Verfahren von Castigliano uns anschauen, das halt auf dem Prinzip der virtuellen

Kräfte beruht, das ist sozusagen die Anwendung für ein Rechenverfahren. Also das ist der Abschnitt 255,

Verfahren von Castigliano. Und wir werden das anhand eines Beispiels, eines abstrakten

Beispiels uns anschauen. Da ist das am leichtesten zu verstehen. Und betrachten dazu ein Balken,

irgendwie hier statisch bestimmt zunächst einmal auf zwei Stützen und der sei belastet durch alle

möglichen Kräfte und Momente. Also ich habe hier eine Kraft F1, habe hier irgendwo ein äußeres

Moment M1, dann habe ich hier meinetwegen irgendwo noch eine Streckenlast und so weiter. Ich habe

hier irgendwo ein Moment K und eine Kraft FK, also irgendwie Q1, ja. Es ist also belastet durch

Einzellasten, Einzelmomente und Streckenlasten. Unter dieser ganzen Lasten wird sich das, wird sich der Balken

irgendwie durchbiegen. Ich übertreibe das jetzt mal in dieser Form und jetzt hat man am Angriffspunkt der Kraft K eine

Durchsenkung, WK normalerweise, die ist jetzt hier mit kleinen FK bezeichnet. Warum? Das sind die Götter.

Und am Angriffspunkt des Momentes stellt sich hier ein Winkel ein, der Neigungswinkel, der

Biegellinie, der ist PSI K und damit das noch mal klar ist, FK ist die Durchbiegung am

Angriffspunkt der Kraft FK, ja also entsprechend bei F1, große Verhabe ich in die Durchbiegung F1 und so

weiter und das PSI K, das ist die Verdrehung des Querschnittes und das ist gleichzeitig auch die

Neigung des Balkens am Angriffspunkt des Moments MK. So das System ist statisch bestimmt, das wollen wir

zunächst mal voraussetzen, statisch unbestammte Systeme kriegen wir später. Also das System ist

statisch bestimmt und ich kann zumindest theoretisch, wenn ich mir die Mühe mache,

alle Schnittgrößen bestimmen. Also kann ich jetzt durch freischneiden, Summe der Kräfte,

Summe der Momente bilden, erstmal die Auflagereaktionen bestimmen und dann kann ich Schnittgrößen,

also Schnittmoment insbesondere, Schnittnormalkraft und Schnittquerkraft könnte ich jetzt ausrechnen.

Wenn ich die Schnittgrößen habe, dann kann ich auch meine Formänderungsenergie ausrechnen bzw.

meine komplementäre Formänderungsenergie, Energie und zwar ist das das Pi quer,

und das Pi quer würde ich jetzt darstellen als Funktion der Schnittgrößen und die Schnittgrößen

wiederum hängen von den äußeren Lasten ab, also F1 bis Fn, M1 bis Mn oder M, was weiß ich,

M müssen nicht gleich viele sein, hier Q1 bis QR, also es ist die hängen davon ab und zwar

sind die darstellbar als, und das ist jetzt, quadratische Funktion der äußeren Lasten.

In der komplementären Formänderungsenergie, wenn ich die darstelle über die Schnittgrößen,

dann tauchten da Größen auf wie M² durch 2Ei und so weiter, N² durch 2Ea und so weiter,

das heißt da tauchen die Schnittgrößen immer im Quadrat auf und da die linear wiederum von den

äußeren Lasten abhängen, tauchen auch diese Größen hier irgendwie quadratisch darin auf,

das heißt dieses Pi quer hängt von F², M² und so weiter ab.

Wenn ich jetzt mir folgendes überlege, bin ich jetzt eine sogenannte Variation der Kraft

Fk und des Moments Mk vornehme, das heißt ich habe hier in meinem Diagramm F über F hier,

habe ich ja hier einen linearen Zusammenhang aus dem Huxchen Gesetz, dann war die komplementäre

Formänderungsenergie oder komplementäre äußere Arbeit hier aber der gleiche der Formänderungsenergie,

dieses Dreieck, das ist hier das Fk und das ist das Fk und jetzt bringe ich hier ein kleines

Delta Fk auf, also so eine kleine virtuelle Kraft und dieses Aufbringen dieser virtuellen

kleinen Kraft, das nennt man Variation, also ich ändere das Fk ein bisschen, dann habe ich also

hier dieses hier Fk, hier ist das Delta Fk, diese gedachte kleine Änderung, dann habe ich hier einen

Zuwachs von meinem Pi quer zu Delta Pi quer und dieses kleine zusätzliche Dreieck hier hinten,

das hatten wir gesagt am Freitag, das kann man vernachlässigen, da das Delta F infinitesimal

klein ist, dann ist auch das die Änderung des kleinen Fs da klein, klein mal klein,

ist sozusagen vernachlässigbar. Dieses Delta Pi quer, das sich jetzt ergibt in Folge dieser

kleinen Änderung, Delta Fk, das kann ich jetzt hier aus dieser Gleichung ermitteln, indem ich mir

nämlich anschaue, wie hängt das Pi quer von dem Fk ab, also ich berechne die Steigung sozusagen

in Richtung Fk, das ist die Ableitung, Delta Pi quer nach Fk mal diese kleine Größe,