Ja, meine Damen und Herren, herzlich willkommen.

Wir waren beim letzten Mal stehen geblieben bei der Berechnung der Flächenträgheitsmomente.

Und hatten uns die Definitionen angeschaut, dass das Iy,

das Integral z² dA Izz,

gleich das Integral y² dA und das Deviationsmoment minus das Integral yz dA

jeweils zu bilden über den gesamten Querschnitt ist. Und wir hatten beim letzten Mal uns angeschaut,

auch wie die Größen aussehen, wenn ich sie bezüglich eines verschobenen Koordinatensystems

betrachte. Dann gelten die sogenannten der johlsteinerische Satz oder die Steineranteile,

die folgendes aussagen, dass ich Iy quer, also bezüglich eines verschobenen Systems,

bilden kann aus dem Iyy plus das zs², quer hatten wir das genannt, beziehungsweise das Izz quer,

ist gleich das Izz bezüglich des Schwerpunktes plus ys² mal A und den gemischten Term als das

Deviationsmoment bezüglich des Schwerpunktes z natürlich muss das heißen, minus ys² zs² mal A.

Das hatten wir beim letzten Mal uns angeschaut, wobei diese hier üblicherweise bezüglich Schwerpunkt

definiert sind, also bezüglich Achsen, die durch den Schwerpunkt gehen, der jeweiligen Fläche und

bei einer Parallelverschiebung in Achsen, die nicht durch den Schwerpunkt gehen, kommen halt

diese Zusatzanteil, diese Abstandsquadrate, mal die Fläche als sogenannte Steineranteile dazu.

Damit kann man jetzt auch relativ elegant Flächenträgheitsmomente bestimmen von

zusammengesetzten Profilen und das hier am Beispiel dieses T-Profils, also ein Querschnitt,

der so T-förmig ist. Da ist als Beispiel folgende Abmessung gegeben, 3C und C, hier Breite und Höhe

und hier unten ist angesetzt ein zweiter Körper oder eine zweite Fläche mit den Abmessungen 3C und

hier ebenfalls C. Gut, jetzt möchte man von diesem Gesamtquerschnitt hier, also so ein T-Profil,

die Flächenträgheitsmomente wissen. Das kann man jetzt relativ elegant über diese steinerschen

Sätze machen, wenn man sozusagen hier schon erkennt, dass es sich hier um zwei Teilflächen

handelt mit Flächenschwerpunkten, die man hier natürlich leicht findet, der Teilflächen. Dann

habe ich hier die Teil 1 und Teil 2 und ich kenne jeweils aus Symmetriegründen die Lage

des Flächenschwerpunkts der jeweiligen Teilflächen. Dann soll aus Symmetriegründen hier ohnehin,

soll das schön symmetrisch sein, dann weiß man, dass das Iyz gleich Null ist, da z eine

Symmetrieachse ist. Den gemeinsamen Schwerpunkt kann man auch ausrechnen, das haben wir schon

mal gemacht. Da würde ich hier, die Berechnung spare ich mir jetzt, der gemeinsame Flächenschwerpunkt

würde irgendwo hier liegen, da legt man jetzt das Koordinatensystem rein, yz, die Lage

hier ist bei 5,5C. Das kann man aus der Schwerpunktsberechnung ausrechnen vorher, das muss man natürlich

jetzt kennen. Jetzt kann ich aber bezüglich dieser neuen yz-Achse, also bezüglich der

Schwerpunktsachsen des Gesamtquerschnitts auch das Flächenträgheitmoment ausrechnen,

indem ich jetzt nämlich die Steineanteile berücksichtige bzw. für das Izz ist das gar

nicht nötig. Die jeweiligen Flächenschwerpunkte liegen ja hier auf der z-Achse, da habe ich

einfach das Flächenträgheitmoment dieser Teilfläche. Für einen Rechtequerschnitt

hatten wir ja diese Formel B, h hoch 3, 12, Breite mal Höhe bezüglich dieser Achse,

hier ist die Breite, wenn ich um die z-Achse drehe, ist die Breite C, die Höhe ist 3C

hoch 3, also Zwölftel, diese Fläche plus, das ist aus 1 hier, plus das Flächenträgheitmoment

der zweiten Fläche, da ist jetzt die Breite 3C und die Höhe C hoch 3, Zwölftel und das

ist der Anteil aus dem zweiten Gebiet. Das würde einfach hier 5,5C ergeben, wenn man

das ausrechnet, das ist noch nicht so dramatisch, da braucht man noch gar keine Steineanteile,

weil jeweils hier die Achse durch die Schwerpunkte geht, aber für das Iyy vom Körper 1, da muss

ich jetzt diese Formel dort oben anwenden, ich habe einmal das Eigenträgheitsmoment

sozusagen um die eigene y-Achse, das wäre diese hier, B, h hoch 3, Zwölftel, das wäre

also hier 3C mal C hoch 3, Zwölftel plus den Steineanteil und das ist jetzt dieser Abstand

hier, also die Abstand der y-Achse lokal, des lokalen Schwerpunkts zu der gesuchten

Achse und das ist in diesem Fall hier 1,5C plus noch 1,5C, ist also C quadrat mal die

Fläche und die ist einfach 3C mal C, also 3C quadrat, also das wäre hier das Eigenflächenträger

zum Eintreffen der Fläche bezüglich der eigenen Schwerpunktsachse plus den Steineanteil,