Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, dann machen wir weiter mit der Mechanik. Wir waren stehen geblieben beim letzten Mal

in Abschnitt 2.1.3 Verschiebung und Verzerrung und hatten A

ein eindimensionales Verschiebungsfeld betrachtet, also U von X, nur eine Richtung und hatten dann

definiert daraus die Dehnung epsilon in X Richtung als dU nach dx. Also die Ableitung dieser Funktion

U von X, dieses Verschiebungsfeldes, das in diesem Fall eindimensional ist, hatten wir gesagt,

ist die auf die jeweilige Länge bezogene Verschiebung und die nennen wir Dehnung. So,

und jetzt wollen wir das erweitern auf mehrdimensionale Probleme und wir fangen mal an,

weil man das noch vernünftig zeichnen kann, mit dem zweidimensionalen Verschiebungsfeld.

Das sieht folgendermaßen aus, eine Verschiebung in der Ebene ist schon ein richtiger Vektor,

das heißt, das U ist also eine vektorielle Größe, die aber natürlich an jedem Ort X und Y

unterschiedlich sein kann, also es ist eine Funktion von X und Y, also ein Feld, ein

Verschiebungsfeld, das als Vektor zwei Komponenten hat, eine X-Verschiebung, die von X und Y abhängen

kann in X Richtung plus eine Verschiebung in Y Richtung UY mal EY, ebenfalls eine Funktion

von X und Y, die sind erstmal voneinander unabhängig. So, wenn ich mir das jetzt hinzeichne,

dann kann ich mir Folgendes vorstellen, ich habe hier mein Koordinatensystem XY in der Ebene,

jetzt habe ich hier irgendwie einen Körper, ich zeichne den gar nicht so groß ein, der wird jetzt

irgendwie verschoben, ich ziehe da dran, der verformt sich jetzt irgendwie in der Ebene,

ich stelle sich so ein Pfannkuchen vor, an dem ich jetzt in irgendwelche Richtung ziehe,

dann kann ich mir hier Marken setzen, erstmal im unverformten Zustand, ein Punkt A markieren und

ich gehe hier um ein Stückchen DX weiter und mache da auch eine Markierung hin, das ist mein Punkt B

und ich gehe auch jetzt in Y Richtung ein Stück weiter, bekomme hier einen Punkt C, der liegt um

DY weiter. So, jetzt verformt mich das, das heißt ich verschiebe den irgendwie, ich habe

jetzt ein Verschiebungsfeld hier drauf, ich ziehe hier an den Rändern, dann bewegen sich diese Punkte,

das Ding wird sich verformen und der Punkt A wandert meinetwegen hier hin, das ist also der Punkt

A Strich und ich habe hier zwei Verschiebungen, ich habe nämlich hier eine Verschiebung, UX und

UY, also der Punkt A hat sich hier rüber bewegt, also um ein UX in diese Richtung verschoben und an

ein UY in diese Richtung. Nun ist diese Verschiebung von dem Punkt nicht überall gleich, das sind ja

Funktionen von X und Y, so dass sich die Punkte C und B auch verschieben, aber halt nicht genauso

wie der Punkt A, das heißt die Verschiebungen sind dort ein bisschen anders, sie werden nicht sehr

viel anders sein, sondern ein kleines bisschen, da sie ja dicht benachbart sind und wir voraussetzen

mal, dass wir kleine Verzerrungen haben, dann hat sich der Punkt B meinetwegen hier hin verschoben,

das ist mein B Strich und jetzt kann ich hier Verschiebungen einzeichnen, also das ist hier

mein B Strich, ich mache das mal blau, dann hat er sich auch hier rüber geschoben und er hat sich

hier hin verschoben, in X Richtung und in Y Richtung und die X Verschiebung ist jetzt irgendwie

etwas anders als das UX und nicht sehr, so dass ich das schreiben kann als UX plus ein DUX,

aber das DUX kann ich schreiben als die Ableitung von DUX nach DX mal DX, das heißt ich habe diese

Verschiebung hier, ist im Prinzip diese Verschiebung plus ein kleiner Zuwachs und zwar kommt der

Zuwachs dadurch zustande, dass ich mich ja hier um das DX weiter bewegt habe und dadurch, dass ich

hier einen neuen Punkt betrachte, der um DX auseinander liegt, ändert sich diese Funktion UX und sie

ändert sich gerade um diesen Wert, nämlich die Änderung von dem UX in X Richtung, das ist die

partielle Ableitung, das ist die Ableitung von UX nach X, das ist die Steigung dieser Funktion in

X Richtung, multipliziert mit dem kleinen Stückchen DX, das gibt die Änderung von UX bei einer

wenn ich einen Punkt betrachte, der um ein DX weiter liegt. Das gleiche ist hier, das ist die

Verschiebung UY am Punkt B, das ist also ein UY plus ein kleiner Zuwachs von dem UY, also ein DUY,

das aber dadurch entsteht, dass ich ebenfalls um ein DX mich weiter bewegt habe, der Punkt liegt

ja hier um ein DX weiter, das ist also DUY ebenfalls nach DX, DX in diesem Fall, das heißt ich habe hier

die Änderung von den UY, wenn ich in X Richtung weiter gehe, mal das kleine Increment, also die

kleinen Abstand in X Richtung, das gibt diesen Punkt. So und das gleiche passiert auch irgendwie

mit dem C, das C wandert meinetwegen hier hin, ich habe also hier ein C Strich und das C verschiebt