Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir waren beim letzten Mal stehen geblieben im Abschnitt 2.3.1

bei diesen Flächenmomenten zweiter Ordnung und hatten hier diese Größen eingeführt

Iy, y gleich z² da, Iz, z gleich das Integral y² da und Iy, z das Deviationsmoment minus

yz da. Das waren die Definitionen bezogen auf schon die spätere Verwendungszweck, bei der man also hier

einen Querschnitt hat, meinetwegen eines Balkens. Man guckt von vorne auf den Querschnitt drauf,

dann kommt x, also ist die Balkenlängsachse, die zeigt hier nach außen, z nach unten und y dann

nach links. Das ist sozusagen die Aufsicht auf den Schnitt und man braucht halt diese sogenannten

Flächenmomente zweiter Ordnung oder auch Flächenträgheitsmomente genannt bezüglich der

y-Achse. Also wenn ich hier ein Flächenelement da habe, dann hat das von der y-Achse einen Abstand

in z-Richtung, von der z-Achse einen Abstand in y-Richtung und man hat halt immer diese

zweiter Ordnung heißt, dass das z², y² bzw. dieser gemischte Term y2

und z und der taucht hier mit Minus auf. Warum das Minus dort steht, werden wir später sehen.

Also das war die Definition und wir wollen uns das an ein paar Beispielen mal anschauen,

was da rauskommt. Und das erste Beispiel, das ist halt etwas, was noch in der Praxis relativ

häufig vorkommt, ein Rechteckquerschnitt. Das heißt, wir betrachten hier einen Querschnitt,

der Breite b und der Höhe h und wir legen das Koordinatensystem yz in den Schwerpunkt

der Fläche. Das ist also hier die Mitte natürlich. Das heißt, ich habe hier z, das ist der Schwerpunkt

der Fläche y. Gut und jetzt möchte ich bilden Iyy, das Integral z² da. Nun das kann ich,

hier die Abstände von der y-Achse sind für kleine Streifen, hier der Breite b offensichtlich

alle gleich. Das heißt, die Integration über die Breite hier kann ich mir also schenken

bzw. ich kann dafür auch schreiben, ist das Integral minus h halbe bis plus h halbe. Also

h läuft hier von minus h halbe bis plus h halbe, z² und das Flächenelement da kann

ich schreiben hier als b dz ist gleich das dA. Das heißt, ich habe hier b dz und habe

sozusagen die Integration über diese Richtung schon ausgeführt. So, das kann man leicht

ausrechnen. Da kommt raus b ist eine Konstante und hier kommt h hoch 3 zwölftel heraus und

das ist etwas, was man Flächentricker z nennt für so einen Rechteckquerschnitt b h hoch

3 zwölftel. Das weiß man irgendwann auswendig oder schreibt sich das in die Formelsammlung.

So, jetzt kann man ganz analog izz, das wäre das Integral y² dA. Ja, gut, dann mache ich

das gleiche nochmal in die andere Richtung. Dann folgt daraus, ich tausche einfach b

und h, da steht h b hoch 3 zwölftel, also da gucke ich bloß von der anderen Seite drauf.

Was noch fehlt ist das Iyz, aber das ist Null. Wir haben beim letzten Mal gelernt, sozusagen

hatte ich Ihnen gesagt, dass Querschnitte die Symmetrieachsen aufweisen, einen Dividationsmoment,

also diesen gemischten Termin, gleich Null haben, wenn die Achsen entlang der Symmetrieachsen

angeordnet sind. Dieser Querschnitt ist ja hier schön symmetrisch zur y- und z-Achse,

also weiß man sozusagen ohne Rechnung, dass das Iyz gleich Null ist. Man könnte aber das

Integral da oben auch ausrechnen. Man könnte also jetzt auch stur hinschreiben Iyz ist

das Integral minus yz über dy dz, also muss ich über doppeltes Integral schreiben, das

wäre also irgendein Flächenelement hier dy dz und ich integriere von minus h halbe bis

plus h halbe und von minus b halbe bis plus b halbe, aber da kommt auch Null raus, wenn

ich das einsetze. Also da passiert nichts, also das kommt dann auch so raus einfach,

wenn ich das einsetze, aber die Rechnung hätte ich mir schenken können, wenn ich beachte,

dass halt Symmetrieachsen sogenannte Hauptachsen sind, das heißt dort verschwindet das Deviationsmoment.

Ein weiterer häufiger Querschnitt wäre ein Kreisquerschnitt, also irgendwie sowas, zy.

Der Kreisquerschnitt ist bezüglich jeder beliebigen Achse symmetrisch, also auch bezüglich

dieser, das heißt Iyz gleich Null, kann ich direkt hinschreiben, weil natürlich das hier

Symmetrieachsen sind, aber jede Achse für den Kreis ist symmetrisch. So und jetzt das

Izz oder das Iyy auszurechnen ist relativ aufwendig, wenn man das direkt machen möchte,

man kann sich aber mit einem Trick behelfen, man kann nämlich das sogenannte polare Flächentricker

zum Moment ausrechnen, Ip war ja das Integral r² dA, das hatten wir beim letzten Mal auch