Meine Damen und Herren, herzlich willkommen zur letzten Runde Mechanik in diesem Semester,

für Sie, hoffe ich doch, zumindest als Vorlesung. So wir hatten beim letzten Mal uns mit Vergleichsspannungen

beschäftigt und da gibt es noch ein kleines Beispiel im Skript. Das wollen wir uns noch mal

anschauen. Eine Welle, also ein kreisrundes Gebilde, so ein kreisrunder Stab auf

Biegung und Torsion belastet. Das heißt also man hat hier irgendwie einfach einen runden Stab,

der gebogen wird um eine Achse und weil das kreisrundes ist, ist es egal um welcher Richtung

sie biegen und er wird auch noch tordiert, dann hat er aufgrund der Biegung Spannung Sigma

xx, wenn das die x-Achse ist hier, meinetwegen z nach unten, y hierüber und aufgrund der

Torsion gibt es hier ein Tau xy und an weitere Spannungen treten nicht auf. Also ich kann

den biegen und dann kann ich ihn auch noch verdrehen. Da hätte ich also so einen zwei

achsigen Spannungszustand oder mit zwei Parametern und um die Schreiberei jetzt zu vereinfachen,

gibt es halt nur eine Spannung Sigma und eine Schubspannung Tau. Wenn ich mir das diesen

Spannungszustand anschaue im morschen Spannungskreis, dann habe ich hier natürlich Sigma yy gleich

Null und Sigma zz gleich Null und dann mache ich das hier mal weg und nehme die nächste

Tafel, weil das nicht mehr drauf passt und auch die anderen Schubspannungen sind alle

Null. Dann kann ich mir das im morschen Spannungskreis anschauen und dann sehe ich hier ich habe

hier Sigma xx gleich Sigma, meinetwegen positiv in der Form. So das Sigma yy ist Null, das

Sigma zz ist ebenfalls Null. Dann habe ich in der xy Ebene noch das Tau xy, das ist hier,

wenn das hier meinetwegen dreht man nach unten auf, hier ist es egal, nach oben tatsächlich.

Dann ist der Mittelpunkt zwischen Sigma yy und Sigma xx, der Mittelpunkt des Kreises,

hier bei der Hälfte, also hier bei Sigma halbe und dann kann ich hier meinen Kreis konstruieren,

so der Radius und dann sieht er folgendermaßen in der xy Ebene aus irgendwie so. Das wäre

der zugehörige morsche Kreis in der xy Ebene, der Kreis in der yz und in der xz Ebene fällt

auf einen Punkt zusammen, weil die beiden Sigma yy hier auf zusammen liegen, habe ich also

nur diesen Kreis und da kann ich direkt die Hauptspannung ablesen. Ich habe diese, die

maximale und hier die minimale und ich bekomme damit hier Sigma eins als die größte, das

wäre halt Sigma halbe, der Mittelpunkt hier plus den Radius, den ich hier hochdrehe und

der Radius ist halt die Wurzel aus Sigma halbe zum Quadrat, also dieses Stück plus dieses

Stück, das ist aber tau zum Quadrat und daraus die Wurzel. So die minimale Spannung, das ist

Sigma drei, wenn ich dreiaxig denke, das ist diese hier drüben, das wäre dann halt Sigma

halbe minus Wurzel, Sigma halbe zum Quadrat plus tau Quadrat und die mittlere Hauptspannung,

die ist null, weil der andere Kreis da sozusagen da drin liegt, die anderen Hauptspannungskreise

liegen hier drin, aber die dritte Spannung ist null oder die mittlere sozusagen, wenn

ich das so angebe. So, damit habe ich meine Hauptspannung gefunden und jetzt könnte ich

meine ganzen Vergleichsspannungskriterien anbringen. Das erste war, hatten wir beim

letzten Mal gesagt, maximale Normalspannung und das war kein gutes Kriterium, da wäre

das Sigma V1 wäre dann in diesem Fall die größte Normalspannung, die irgendwie möglich

ist, das ist, so wie ich es gezeichnet habe, hier Sigma eins. Also ich mache mal hier Sigma

arabisch eins hin, um das von denen zu unterteilen, also das erste Kriterium wäre jetzt dieser

Rettung, ist aber kein gutes, kein gutes Kriterium. Das zweite hatten wir gesagt, war die maximale

Normaldehnung und dann konnte man diese Dehnung in das Stoffgesetz einbauen und dann würde

ich hier rauskommen als Sigma V des zweiten Kriteriums, wenn ich das einsetze, wäre hier

eins minus Ni Sigma halbe plus und dann steht hier eins plus Ni diese Wurzel, also indem

man das in diese Formel einsetzt, die wir beim letzten Mal hatten, plus Tau Quadrat. Das

würde rauskommen, ist für eine Welle, typischer wäre jetzt wirklich eine Welle für irgendeine

Achse, also irgendwas, wo sie was antreiben wollen, auch kein gutes Kriterium, weil sie

das typischerweise aus einem duktilen Material bauen würden, also Metall, Stahl, irgendwas

und da würde man jetzt eines der anderen Kriterien nehmen. Das dritte Kriterium war

die maximale Schubspannung, das Tresca Kriterium

und da kommt raus Sigma V3 war die Differenz, hier Sigma eins minus Sigma drei oder sozusagen