Stabilität von Gleichgewichtslagen

Ich will noch mal schnell zurückkommen auf dieses Thema Stabilität von Gleichgewichtslagen.

Hier anhand noch eines anderen Beispiels, damit wir noch mal die einzelnen Schritte vielleicht besser verstehen.

Und zwar ist das folgende Beispiel.

Wir wollen mal betrachten, dass wir hier einen Stab haben, der in der Mitte drehbar gelagert ist.

Wir wissen schon, wenn wir den so lagern, das war ja auch unser Beispiel für dieses sogenannte indifferente Gleichgewicht,

dann kann ich den drehen und wenden, wie ich will. Der bleibt dann eben immer so stehen.

Und um die ganze Sache jetzt ein ganz klein bisschen interessanter zu machen, packen wir hinten jetzt mal eine Masse dran.

Und um dem also jetzt was gegenüberzustellen, werden wir auf der anderen Seite auch eine Masse hinpacken,

aber die so, dass die verschiedene Positionen annehmen kann.

Und wir wollen eben einfach untersuchen, was passiert, je nachdem in welcher Position diese Masse sitzt.

Also ich will das mal vielleicht so andeuten, hier diese zweite Masse in Blau, die kann an irgendeiner Stelle entlang dieses Stabes sitzen.

Und wir wollen dann eben untersuchen, ob da Gleichgewichtslagen möglich sind und ob die dann eben stabil, instabil oder indifferent sind.

Vielleicht so ein paar Maße zu der ganzen Geschichte, hört sich jetzt komplizierter an, als es ist.

Also der Stab sei zunächst mal in jede Richtung gleich lang L.

Und wir wollen dann diese blaue Masse uns vorstellen, dass die in einer Position sitzt, die wir mit S bezeichnen.

Und darüber hinaus, wenn wir hier ein kathesisches Koordinatensystem einzeichnen,

dann soll die Orientierung, also XY, die Orientierung dieses Stabes hier angegeben werden durch so einen Winkel, den nennen wir Phi.

Dann haben wir hier noch die Gewichtskräfte von diesen Kugeln, die da angreifen, die zeigen natürlich dann parallel zur Z-Achse nach unten.

Und zwar haben wir einmal eine Kugel mit der Gewichtskraft G1 und diese zweite Kugel habe eine möglicherweise davon verschiedene Gewichtskraft G2.

Und ich glaube, dann haben wir erstmal alles hier eingezeichnet, was wir brauchen.

Und wir wollen jetzt mal annehmen, der Einfachkeit halber zunächst, dass dieser Stab gewichtsfrei ist und lediglich die Kugeln da berücksichtigen.

So, jetzt haben wir letztes Mal gehört, um das zu diskutieren, was sind hier Gleichgewichtslagen,

also welche Winkel Phi und welche Positionen S führen dazu, dass das System im Gleichgewicht ist.

Und dann die zweite Frage, was für ein Geschmack hat dieses Gleichgewicht, ist das ein stabiles, wo ich also ein bisschen dran rütteln kann und dann passiert nichts,

oder ist das ein instabiles, wo jetzt einer hustet und das fällt um, oder ist das ein indifferentes, wo gar nichts passiert.

Also diese Klassifikation der Gleichgewichtslagen, alles das können wir ermitteln, indem wir die gesamte potenzielle Energie analysieren.

Und das wollen wir jetzt hier mal machen und dazu müssen wir jetzt erstmal die gesamte potenzielle Energie aufschreiben.

Also das ist der Schritt eins, das ist die gesamte potenzielle Energie.

Wir hatten das letztes Mal diskutiert, wir kennen mindestens zwei Arten davon, potenzielle Energie der Lage, in diesem Fall trifft das hier zu

und dann hatten wir auch letztes Mal schon mal diskutiert, so Fälle, wo wir Federn haben, wo wir noch potenzielle Energie von so Federn zu betrachten haben.

Dann haben wir natürlich das Folgende, diese potenzielle Energie setzt sich jetzt zusammen aus der potenziellen Energie der Lage von Masse eins,

die habe die Höhe Z1, das war ja potenzielle Energie in der Lage, ist einfach Gewichtskraft mal Höhe und das Nullniveau, wo wir bei Z gleich Null setzen, plus G2 mal Z2.

Die Höhen, die die Kugeln jetzt haben, hängen ab von dem Winkel Phi, das heißt das können wir jetzt also ausdrücken über den Winkel Phi

und dann haben wir G1 mal L mal dem Sinus von Phi minus G2 mal S mal dem Winkel von Phi, mal dem Sinus des Winkels von Phi, Entschuldigung.

Damit haben wir im Grunde schon eigentlich das Wichtigste hier gemacht, nämlich wir haben die Energie uns überlegt, wie groß die wohl ist und wie die sich durch die unbekannten Variablen ausdrücken lässt.

Jetzt geht es im zweiten Schritt um die Frage, was sind Gleichgewichtslagen?

Ja, wie kriege ich das raus? Die Bedingung für eine Gleichgewichtslage ist, dass die Ableitung der potenziellen Energie eben nach diesen Variablen S,

beziehungsweise S ist eine gegebenen Größe nach dem Winkel Phi verschwindet. Also ist die Bedingung die folgende.

Die einzige Größe, die wir jetzt verändern wollen, ist der Winkel Phi für ein gegebenes S.

Was ist die Ableitung hier? Das gibt diesen Vorfaktor G1 mal L minus G2 mal S, Sinus Phi, die Ableitung nach Phi, gibt dann Cosinus Phi.

Wir suchen jetzt die Bedingungen dafür, dass diese Ableitung hier null ist. Das war die Bedingung dafür, dass wir Gleichgewicht haben.

Jetzt können wir verschiedene Fälle unterscheiden, nämlich zum einen die Fälle, wo diese Klammer hier vorne null ist, das kann passieren, wenn das Verhältnis von G1, G2, L und S so ist, dass die Klammer null ist,

oder die Fälle, wo der Cosinus von Phi null ist. Also Fall A, der S also dadurch gekennzeichnet, dass diese Klammer gerade verschwindet.

Damit die Klammer verschwindet, muss jetzt das S einen bestimmten Wert annehmen, nämlich das Verhältnis der Gewichtskräfte mal L.

Das heißt, wenn G1 und G2 gerade so austariert sind, und die Abstände L und L so austariert sind, dass gerade im Moment ein Gleichgewicht herrscht, dann haben wir eben typischerweise Gleichgewicht.

Die Frage ist, was für eine Art von Gleichgewicht das ist, und um diese spezielle Lösung anzudeuten, will ich hier mal einen Strich drüber machen. Also wenn es diesen Wert annimmt hier, dann ist diese Klammer da in meiner Gleichgewichtsbedingung null, und dann ist die Welt in Ordnung.

Dann kann aber auch der Winkel Phi beliebig sein. Dann ist egal, ob Cosinus Phi plus eins, minus eins oder irgendwas dazwischen ist, dann ist die Klammer ja immer null.

Fall B, das ist der Fall, wo diese Klammer nicht unbedingt null ist. Das heißt also, in dem Fall müssen wir gucken, wann ist der Cosinus von Phi null.

Und wenn Sie sich vorstellen, wie der Cosinus verläuft, vielleicht nur noch mal ganz kurz zur Erinnerung, dann verläuft der ja so und so weiter.