Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, wir sind beim letzten Mal fertig geworden mit den fremderregten Schwingungen und wollen uns

heute einem anderen Schwingungsphänomen zuwenden, nämlich den sogenannten

parametererregten Schwingungen. Was versteht man unter einer parametererregten Schwingung?

Das ist die Schwingung eines Systems, das sich folgendermaßen beschreiben lässt.

x Punkt von t ist gleich a von t mal x von t plus b von t. Und was hier jetzt sozusagen neu ist

gegenüber den Schwingungen, die wir bis jetzt behandelt haben, ist die Tatsache,

dass die Zustandsmatrix hier a jetzt tatsächlich explizit zeitabhängig ist. Bis jetzt haben wir

immer eine konstante Matrix a betrachtet. Parametererregte Schwingungen entstehen dadurch,

dass hier in den Parametern des Systems, also Steifigkeit oder Masse, typischerweise die

Steifigkeit, periodisch eingegriffen wird und man erhält dann eine Schwingung oder eine Anregung

auch der Schwingung über typischerweise periodische Änderungen dieser Matrix a von t. Die kann auf zwei

Arten sich ändern. Erstens, ich habe hier eine von außen vorgegebene Zeitfunktion. Das wird durch

einen äußeren Mechanismus irgendwie gesteuert. Dann handelt es sich um eine Parameter Fremderregte

Schwingung oder die Zeitfunktion hier a von t wird durch die Schwingung selber geregelt.

Das heißt irgendwie eine Rückkopplung an die Eigenfrequenz des Systems gekoppelt.

In diesem Fall sagt man es ist eine Parameter selbst erregte Schwingung. Für beide Objekte gibt

es Beispiele. Diese Parameter selbst erregte Schwingung, die Schwingungsrücke koppelte Schwingung,

das haben sie genau dann, wenn sie auf einer Schaukel sitzen und hin und her schaukeln. Da

bewegen sie irgendwie ihren Schwerpunkt rhythmisch vor und zurück, verlagern also die

Massengeometrie des Schwingers, auf dem sie ja selber sitzen und sie passen diese Bewegung,

dadurch dass sie den Oberkörper und die Beine immer vor und zurück bewegen, an die Eigenfrequenz

der Schaukel an. Da haben sie genau diese Schwingungsrückkopplung hier und das führt

dann zu einer Parameter selbst erregten Schwingung und damit können sie halt so ein System zum

Schwingen anregen. Sie können dann schön hin und her schaukeln auf einer Schiffschaukel oder wenn

sie da auf einer Kinderschaukel sitzen. Das ist so eine Schwingungsrückkopplung und der Regler,

der diese Schwingungsrückkopplung sozusagen vornimmt, das sind sie dann selber oder derjenige,

der auf der Schaukel sitzt und dann hat man auch eine periodische Änderung dieser Matrix A,

hier dadurch dass sie den Schwerpunkt rauf und runter oder vor und zurück bewegen und das passen

sie an an die Eigenfrequenz des Systems, sonst funktioniert das nicht, wenn sie auf so einer

Schaukel sitzen und wie so ein Irre hin und her wackeln, schaukelt gar nichts. Das muss man als

Kind erstmal lernen, bis man das raus hat. Das dauert eine Weile. Ich habe es an meinen eigenen

Töchtern gesehen, auch schaukeln will gelernt sein, bis man das raus hat, dass man das so im

Takt machen muss. Das hat eine Weile gedauert. Umgekehrt, also anderer Fall ist diese vorgegebene

Zeitfunktion. Der Herr Süß holt noch ein Modell, bei dem man das vorführen kann, das werden wir

nachher noch etwas näher diskutieren. Das werden wir auch noch etwas weiter diskutieren nachher.

Ich zeichne das mal schematisch hin. Beispiel ein sogenanntes Rüttelpendel. Wir haben hier ein ganz

normales Pendel, also ein Stab, der hier gelenkig gelagert ist. An dem hängt eine Masse M, der L.

Nun ist dieser Aufhängepunkt nicht fest, sondern wird irgendwie hier periodisch auf und ab bewegt.

Also man bewegt diesen Aufhängepunkt des Pendels entlang der Höhenkoordinate hier rauf und runter,

und zwar mit einer vorgegebenen Funktion u von t, die aber völlig unabhängig hier von der Eigenfrequenz

des Pendels ist. Die hier und die Auslenkung kann ich weiter durch Phi messen. Dann kann ich mir den

Ortsvektor hinschreiben zur Masse M. Im dreidimensionalen, die Z-Koordinate ist Null, habe ich hier L mal

Sinus Phi, ich habe hier u minus L Markosinus Phi und Null. Auf die Masse wirkt natürlich hier noch

die Gewichtskraft G, also habe ich hier M mal G, sodass ich hier das F habe, das auf die Masse wirkt,

also ist Null minus M mal G und Null. Und dann kann ich hier das Dallarm-Bärsche Prinzip, also ich kann freischneiden

und dann auch noch linearisieren, also für kleine Winkel, das heißt ich mache es im Sinus Phi, mache ich

wieder Phi, dann bekomme ich daraus die Differentialgleichung, die sieht folgendermaßen aus, Phi 2 gepunktet

plus u2 gepunktet von t plus G durch L mal Phi gleich Null. So, jetzt sieht man schon für den Fall, dass das u hier in Ruhe ist,

dass das nicht bewegt, dass u von t einfach eine Konstante ist, dann ist das u2 gepunktet Null und ich habe hier