Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir waren beim letzten Mal stehen geblieben in Kapitel 4, fremderregte Schwingungen und

hatten uns die Impuls- und Sprungerregung angeschaut und wollen heute machen,

weitermachen im Abschnitt 4.1.3 zunächst einmal harmonische Erregung.

Das heißt, wir haben eine Erregung B von T, die Cosinus- und Sinusanteile enthält und Bc ist der

Cosinusanteil plus ein Bs, das mit Sinus-Omega-T geht und Cosinus- und Bsinus- die

Koeffizientenvektoren hier vor sind konstant. Dann ist das also harmonisch ein reiner

Cosinus-Überlage von einem reinen Sinus. Das könnte ich auch zusammenfassen zu einem

irgendwie phasenverschobenen Cosinus oder Sinus. Also das ist damit gemeint.

Ein rein harmonischer Erregung. Wir werden das jetzt umschreiben, weil sich damit leichter

rechnen lässt in eine komplexe Darstellung. Na, das gequietsche ich. Und zwar E hoch I Omega T.

Und damit ich das ist ja ein rein komplexer Anteil hier, hat auch imaginäre Anteile,

damit das eine rein reelle Größe wird, muss ich jetzt hier umgekehrt den konjugierten

Komplexen noch dazutun, minus I Omega T in dieser Form. Wenn ich das hier, das ist das B hier,

Null und das konjugiert Komplexe, wobei B0 jetzt hier halt eine komplexe Konstante ist.

So, jetzt will ich die Antwort wissen auf eine solche harmonische Erregung. Dann kann ich die

formal hinschreiben als x harmonisch von T mit dieser allgemeinen Darstellungsform. Ich habe hier

die Fundamentalmatrix Phi von T mal die Anfangsbedingungen plus das Faltungsintegral

Null bis T. Hier Phi von T minus Tau mal die Erregung B von Tau hier jetzt, also B0 E hoch

I Omega T plus B0 quer E hoch minus I Omega T. Und das Ganze über D Tau integriert. So,

das ist jetzt einfach stur in die allgemeine Lösung eingesetzt, also hingeschrieben und B von

Tau jetzt diese spezielle Erregung eingesetzt. Um jetzt weiter rechnen zu können, dann habe

ich hier Terme stehen irgendwie mit E hoch I Omega Tau, ist es günstig, dass Phi, die Fundamentalmatrix

wieder als Exponentialfunktion darzustellen. Phi von T, können wir uns noch erinnern,

mal ja Phi von T konnte man formal als E hoch A T schreiben. In diese Exponentialdarstellung,

das war die Exponentialfunktion der Systemmatrix, die Matritzen-Exponentialfunktion. Dann kann ich

das jetzt umschreiben und gleichzeitig, ich schreibe es mal aus, habe ich also hier vorne

stehen E hoch A T mal X0 plus das Integral Null bis T und dann schreibe ich hier E hoch

A. So, und jetzt steht hier T minus Tau, also steht hier E hoch A von T minus Tau. Das kann

ich aber auseinander ziehen zu E hoch A T mal E hoch minus A Tau. An dieser Stelle und dann habe

ich hier B null E hoch I Omega Tau plus B null quer E hoch Minus I Omega Tau dTau in dieser Form.

Gut, jetzt möchte ich natürlich hier steht E hoch Minus A Tau und hier E hoch I Omega Tau,

das gerne irgendwie zusammenfassen. Das kann ich jetzt umschreiben und zwar kann ich B null,

zum Beispiel mal E hoch I Omega Tau, auch schreiben, das ist ja Vektor mal eine Skalaregröße,

kann ich aber auch als Matrix-Vektor-Produkt schreiben, indem ich hier einfüge I Omega und

ich füge hier oben die Einheitsmatrix Tau mal B null. Ich schreibe es also so. Also aus dem

Gebilde mache ich eine Matrix, die auf der Hauptdiagonal E hoch I Omega Tau stehen hat,

indem ich das hoch I, die Einheitsmatrix hier einfüge und mit dem B null nachmultipliziere.

Das ist genau der gleiche Ausdruck. Dann kann ich das nämlich zusammenfassen und ich kann

X harmonisch von T schreiben als E hoch A mal T, das klammer ich aus, das steht ja auch hier in dem

Integral drin, ist aber bezüglich des Integrals eine Konstante. Ich integriere über Tau und der

Wert E hoch A T ist einfach der Wert einer oberen Grenze, kann ich aber als Konstante halt rausziehen,

sodass ich das ausklammern kann und ich habe hier X null plus das Integral null bis T. So und jetzt

fasse ich hier zusammen E hoch I Omega Einheitsmatrix minus A mal Tau d Tau mal B null. Das B null,

wenn ich ersetze diesen Term hier durch das, dann kann ich die E zusammenfassen,

habe ich hier nämlich zwei Matrizen stehen, E hoch I Omega I minus A und das B null ist ja ebenfalls

eine Konstante bezüglich des Integrals, kann ich nach hinten rausziehen und plus jetzt noch ein

zweites Integral null bis T E hoch und dann steht hier minus I Omega I minus A mal Tau d Tau und das

ganze mal B null quer. Gut und die eckige Klammer zu. Also bloß algebraische Umformung. So jetzt

benutze ich hier an dieser Stelle diese Integrale kann man auswerten, wenn man sich erinnert an die