Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Herzlich willkommen auch von meiner Seite nochmal. Wir haben beim letzten Mal uns ja ganz allgemein

mit Schwingungen und Klassifizierung von Schwingungssystemen beschäftigt und hatten

dann den einfachen Einmassenschwinger uns angeschaut und waren stehen geblieben hier bei der weiteren

sozusagen des einfachen Federmassesystems bei einem Federmassedämpfersystem. Also wir haben

jetzt parallel geschaltet zu der Feder C noch diesen Dämpfer D. Wenn man das freischneidet,

bekommt man da diese Differenzialgleichung heraus. Masse mal Beschleunigung plus die

Dämpferkraft D mal Y Punkt, also linear proportional zur Dämpferkraft und dann noch den lineare

elastischen Anteil C mal Y. Das in der Summe ist gleich Null. Das kann ich durch Teilen

durch M auf diese Normalform bringen. Dann führ ich Konstanten ein. Wir hatten beim

letzten Mal schon C durch M als Omega Null Quadrat abgekürzt und nachher gesehen, dass

das in der Lösung die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung war. Die Abkürzung

behalten wir bei. Dann taucht jetzt noch der Term auf D durch M. Den nennen wir 2 Delta.

Wenn ich jetzt diesen Lösungsansatz mache, den wir beim letzten Mal auch schon gemacht

haben, dass man nämlich sagt, Y von T setze ich an mit C mal I hoch Lambda T und setze

das ein, dann bekomme ich diese Gleichung dort unten heraus. Wenn ich dann C mal I hoch

Lambda T, das in jedem der Terme auftaucht, rausziehe, bleibt da vorne diese Klammer.

Damit habe ich mein Eigenwertproblem wieder dort stehen mit der trivialen Lösung C gleich

Null. Aber die ist uninteressant, weil C gleich Null bedeutet, das System ist in Ruhe.

Das ist natürlich eine Lösung der Bewegungsdifferenz. Das ist in Ruhe und es tut sich gar nichts,

aber die ist nicht besonders spannend. Interessanter sind die sogenannten nicht trivialen Lösungen,

die nämlich dann auftauchen, wenn vorne die Klammer Null ist. Also der Ausdruck Lambda

Quadrat plus 2 Delta Lambda plus Omega Null Quadrat ist gleich Null. Jetzt sieht man da

auch schon, warum man diese Abkürzung D durch M gleich 2 Delta gewählt hat. Dann kriege

ich da nämlich diesen binomischen Ausdruck, Lambda Quadrat plus 2 Delta Lambda. Da kann

ich jetzt sozusagen die quadratische Ergänzung machen und diese Eigenwertgleichung lösen.

Einfach ein Polynom zweiten Grades, die Lösungsformel kennt man, das ist diese PQ Formel. Bzw.

hier bekomme ich zwei Lösungen heraus, so wie ich das vorher auch bekommen hatte für das

ungedämpfte System. Habe ich jetzt hier Lambda 1 2 als minus Delta plus Minuswurzel aus Delta

Quadrat minus Omega Null Quadrat. Abhängig von dem Delta und dem Omega Null können diese

Lösungen Lambda rein reell oder komplex sein. Das hängt davon ab, ob Delta Quadrat größer

Omega Null Quadrat ist. Wenn das größer ist, dann steht unter der Wurzel etwas Positives.

Dann habe ich rein reelle Lösung. Ist Delta Quadrat kleiner Omega Null Quadrat, dann steht

unter der Wurzel etwas Negatives. Wenn ich die Wurzel als etwas negativen ziehe, bekomme

ich irgendwas Imaginäres, sodass insgesamt was Komplexes rauskommt. Da ich zwei Lösungen

habe, genauso wie bei dem ungedämpften System, Lambda 1 2, muss ich meinen Lösungsansatz

auch erweitern. Ich muss sozusagen wieder hinschreiben, die allgemeine Lösung ist Y

und von T ist gleich C1 mal e hoch Lambda 1 T plus C2 mal e hoch Lambda 2 T. Für jedes

Lambda, das ich bekomme, muss ich ein Lösungsglied von diesem Typ C e hoch Lambda T dann mitnehmen.

Jetzt wollen wir uns auf einen Fall beschränken. Den nennt man schwache Dämpfung, nämlich

genau der Fall, dass das Omega Null größer Null ist und das Delta größer Null ist, aber

dass ein Delta zwischen Null und Omega Null liegt, also kleiner ist. Damit habe ich tatsächlich

unter der Wurzel etwas Negatives stehen und ich kann das umformulieren. Die Eigenwerte

auf diesen Ausdruck Lambda 1 2 ist minus Delta plus minus i Wurzel aus Omega Null Quadrat

minus Delta Quadrat. Das ist dann wieder was Positives und diesen Wurzelterm, den nenne

ich halt Omega D. Das ist die Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung. Denn wenn man

sich das hinschreibt, so wie wir das beim letzten Mal gemacht haben, dann kann man diesen

ganzen Formalismus, den man angewendet hat, wieder anwenden, bekommt genau die gleiche

Lösung heraus, dass ich das wieder als ein Sinus und ein Cosinus-Term darstellen kann

mit zwei Konstanten, die wieder rein reell sind, A1 und A2. Ich schleppe halt nur die