Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, meine Damen und Herren, schönen guten Tag.

Ja, wir haben uns beim letzten Mal mit der Eigenwerteaufgabe für Systeme,

zunächst in Zustandsform, interessiert.

Sind dazu ausgegangen von dem Homogenproblem.

Problem, x Punkt ist gleich a mal x ohne eine rechte Seite oder ein Lastvektor b. Wir haben

einen typischen Ansatz gemacht, wo man auf ein Eigenwertproblem kommen möchte, nämlich

e hoch Lambda t mit x tilde als nachher dem Eigenvektor als Koffizienten sozusagen. Dann

ist die Ableitung Lambda mal x e hoch Lambda t, das kann man einsetzen. Das führt dann

auf die Eigenwertaufgabe, wenn ich das einsetze und das e hoch Lambda t rausstreiche. Und

dann gibt es die triviale Lösung natürlich x tilde gleich Null, die uns wie immer nicht

interessiert und nicht triviale Lösung halt für den Fall, dass die Determinante Lambda

i minus a verschwindet. Diese Determinante kann man sozusagen formal ausmultiplizieren

und bekommt dann ein Polynom in Lambda. Wenn das eine N-Kreuz-N-Matrix ist, bekomme ich

ein Polynom Nten-Grades, das ich hinschreiben kann als Lambda hoch N plus ein Koffizient

a hoch 1 Lambda hoch N minus 1 und so weiter bis a N gleich Null. Das ist also die Determinante,

die soll ja verschwinden. So, und jetzt weiß man, dass wenn die Matrix A rein reell ist,

was sie für uns natürlich immer ist, da steht ja diese Systemmatrix, da steht ja irgendwie

die Masseninverse, die Steifigkeit und die Dämpfungsmatrix drin, das sind alles rein

reelle Größen. Das heißt auch die Matrix A ist rein reell. Dann erwarte ich die Lambdas

entweder als rein reelle Größen oder als paarweise konjugiert komplexe Größen. Also

immer so Paare Lambda J und J plus 1 als ein Realteil plus minus i Omega J, also als ein

Imaginärteil. So, jetzt hatten wir uns angeschaut, wie man die Eigenvektoren ausrechnen kann,

also wie ich die Lambdas bestimmt habe, als im schlimmsten Fall die Nullstellen dieses

Polynoms. Numerisch macht man das auf anderen Wege, ja aber das soll hier nicht im Vordergrund

stehen. Wenn ich die Lambdas also kenne, kann ich die wieder einsetzen, also in diese Eigenwertgleichung

Lambda i minus a mal x Tilde gleich Null. Wenn ich jetzt so ein Lambda einsetze, dann

wird die Matrix damit singulär, ja genau so habe ich ja die Lambdas bestimmt. Ich habe

ja gefordert, dass für diese Lambdas die Determinante verschwindet. Das heißt, ich

habe eine singuläre Matrix da vorne und ich kann diese Eigenvektoren bestimmen bis auf

ein oder mehrere frei zu wählende Einträge. Das heißt, ich kann die beliebig skalieren

oder dergleich. Jetzt ist das der Fall, dass ich diese Lambdas müssen ja nicht alle verschieden

haben. Haben wir gesehen, dass die Lambdas mehrfach auftreten können und dann spricht

man von der Vielfachheit des Eigenwerts. Also ein Eigenwert kann einmal, zweimal, dreimal,

vier, fünf, was weiß ich, je nachdem wie das System halt aussieht auftreten und ich

kann dann meinen Determinantenpolynomen hinschreiben in dieser Form Lambda minus den Eigenwert

Lambda eins hoch die Vielfachheit und dann habe ich halt so viele Terme, wie ich verschiedene

Eigenwerte habe. Also das ist die S, ist die Anzahl der unterschiedlichen Eigenwerte und

jetzt gehört aber zu jedem Eigenwert auch zu den Vielfachen, sollten eigentlich jeweils

ein linear unabhängiger Eigenvektor gehören, was nicht immer klappt. Ob das funktioniert

oder nicht, hängt von diesem Defekt ab, also von dem Rangabfall dieser Koeffizientenmatrix

Lambda i minus a und ich bekomme tatsächlich so viele unabhängige Eigenvektoren, wie ich

auch Eigenwerte habe, also wenn ich drei, eine Vielfachheit habe von drei, ich habe

dreimal denselben Eigenwert, wenn dann der Defekt dieser Rangabfall auch drei ist, also

gleich dem der Vielfachheit ist, dann bekomme ich auch tatsächlich drei vernünftige, unterschiedliche,

das heißt linear unabhängige Eigenvektoren. Wenn das nicht der Fall ist und wir hatten

letztes mal so ein Beispiel, konstruiert halt eine einfache Matrix, wo das nicht gilt,

weil der Defekt kleiner ist, dann bekomme ich halt nur so viele linear unabhängige Eigenvektoren,

wie ich, wie der Rangabfall ist, also wie so groß wie das D ist und wenn das D halt kleiner

als V ist, dann fehlen mir irgendwelche Vektoren, das sind dann keine echten unabhängigen Eigenvektoren