Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Meine Damen und Herren, leider hat uns jetzt der Beamer ganz verlassen. Also es geht heute

komplett ohne. Die Technik hier in diesem Hörsaal ist wunderlich. Herzlich willkommen. Wir hatten uns

beim letzten Mal mit dem Zeitverhalten und den Wurzelorten für den Einmassenschwinger

beschäftigt und wollen uns heute das Phasenportrait anschauen. Also es ist eine andere Darstellung.

Also da steckt auch nichts anderes drin, aber etwas, was man mitunter zur Visualisierung ganz

schön benutzen kann. Ja, was versteht man bei dem Phasenportrait? Das ist die Gesamtheit aller

Bahnkurven des Systemzustandes im Zustandsraum. Und diesen Zustandsraum

den bezeichnet man halt auch als Phasenraum. Wir schauen uns mal an. Auf einem Einmassenschwinger,

wenn wir den auf Zustandsform für einen Eindorfschwinger, da hatten wir ja folgendes hier,

wir hatten hier y2 gepunktet plus 2 delta y Punkt plus Omega 0 Quadrat y ist gleich 0. Das war die

physikalische Form und dann hat man hier den Zustandsraum eingeführt, in dem ich nämlich

gesagt habe, meine beiden Zustandsgrößen sind y und y Punkt, sodass ich hier ein x1 ist gleich y,

x2 ist gleich y Punkt. Das sind die beiden Zustandsgrößen und dann kann ich mir hinschreiben,

dass dann die zweite Ableitung y2 gepunktet wäre dann x2 Punkt, also die Ableitung von der zweiten

Größe und außerdem gilt natürlich, dass x2 gleich x1 Punkt ist. Also das x2 y Punkt ist x1,

das ist diese Identität, die wir dann in dieser System in der Zustandsmatrix hatten und dann

könnte ich das hinschreiben in der folgenden Form x1 Punkt ist gleich x2 und x2 Punkt,

wenn ich das die Differentialgleichen jetzt entsprechend um forme, habe ich hier x2 Punkt

ist y2 und dann bringe ich das auf die andere Seite, minus 2 delta y Punkt, y Punkt ist aber

x2 minus Omega 0 Quadrat x1 und das wäre das gleiche wie hier x1 x2 Punkt, Punkt ist gleich

diese Matrix hier x1 x2 und dann steht hier x1 Punkt ist gleich x2, das ist die Einheitsmatrix

hier sozusagen für den Einpassschröger, das ist halt bloß die 1 und x2 ist hier minus Omega 0

Quadrat und minus 2 delta und dann hätte ich wieder diese Form x Punkt ist gleich a mal x,

also so ist das gemeint und jetzt hätte ich also hier eine Form etwas in der Form x Punkt ist

gleich Funktion im Allgemeinen von x, in diesem Fall ist es halt eine lineare Funktion a mal x

einfach. So und jetzt gilt hier für das Beispiel auch ganz allgemein für alle Zeitinvarianten

Systeme, für autonome Systeme gilt, also das x Punkt ist gleich f von x, das muss jetzt,

kann auch nicht linear sein, aber es hängt nur das x Punkt von dem x ab und nicht explizit noch

von der Zeit, also für das Beispiel hier ist das genau so etwas, also ein Zeitvariantesystem,

da würde x Punkt gleich Funktion von x und t stehen, aber jetzt gilt für diese, das ist ja

der normale Fall sozusagen, dann gilt dann, ergibt sich ein zeitunabhängiges Bild im Phasenraum,

also ich kann da sozusagen x Punkt als Funktion von x hinschreiben und diese Darstellung hängt

nicht explizit von der Zeit ab und das, dieses Ding, das heißt, das ist das Phasenportrait.

Und jetzt können wir das, wäre also x i Punkt, also die Einträge dort x1, x2 Punkt ist irgendwie

fi, diese Funktion, i und das wäre ja dxi nach dt an der Stelle, beziehungsweise ich kann das

dxi schreiben als fi mal dt. So, wenn ich das jetzt im R2 habe, also für den Einmassenschwinger,

ich habe zwei Einträge x1 und x2, das ist damit gemeint, dann kann ich mir folgendes hinschreiben,

dx1 umgekehrt, ist egal, dx2 nach dx1 ist gleich f2 mal dt durch f1 dt, dann kann ich das dt kürzen,

ist gleich f2 zu f1, wenn ich jetzt sozusagen x2 über x1 auftrage, hängt das nur vor diesem

Verhältnis, die Zeit kürzt sich an der Stelle sozusagen raus. Okay, was man jetzt sozusagen

macht, ist das Phasenportrait hinzuschreiben oder hinzuzeichnen und zwar jetzt für den

Einfreiheitsgradschwinger würde ich hier x1, da kann man das schön zeichnen, x2, wenn das ein

Zweifreiheitsgradschwinger wäre, hätte ich schon x1 bis x4, das lässt sich nicht mehr schön

visualisieren, da tut man sich dann schwer, dann kann man dann nur noch Ausschnitt oder

Projektionen sehen, aber für den Einfreiheitsgradschwinger ist das halt so schön, weil ich das

zweidimensional zeichnen kann. Dann kann ich sozusagen hier, je nachdem was das für ein

System ist, würde ich jetzt hier irgendwelche Kurven kriegen, mal die mal irgendwie hier rein,

an von einem Startwert ausgehend bewegt sich sozusagen mit der Zeit als Parameter,

also die Zeit läuft entlang der Kurve, nimmt der Schwinger hier mit der Zeit verschiedene