Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, okay, es ist heute etwas gemütlicher als sonst, aber das schadet ja auch nichts.

Heute gehen wir zu den Hamiltonischen Gleichungen.

Und die Hamiltonischen Gleichungen sind eine Umformulierung der Lagrange-Gleichungen.

Und bilden natürlich den dynamischen Kern der Hamiltonischen Formulierung,

den wir letztes Mal begonnen hatten, indem ich Ihnen eigentlich ganz aus dem Kontext herausgehoben

Lagrange-Transformationen erläutert hatte als Transformationen, die die Information erhalten bei einer Funktion,

aber sie in eine andere Funktion überführen, wobei wir Variablen ersetzen durch die Ableitung der Funktion nach diesen Variablen.

Sie werden das heute technisch nur noch im Abstrakten erkennen, aber dort wo Sie es erkennen, sagen Sie,

ja klar, das fällt jetzt nicht vom Himmel, sondern ist eine Lagrange-Transformation.

Das werden Sie sehen.

Und als allererstes beginnen wir mit der Szenerie, in der die Hamiltonische Formulierung stattfindet, und das ist der Phasenraum.

Und zwar hatten wir zuvor einen Geschwindigkeitsphasenraum definiert gehabt,

und jetzt definieren wir für eine Mannigfaltigkeit, natürlich eine glatte Mannigfaltigkeit,

z mit einer Topologie und einem Atlas vor allem, für eine solche Mannigfaltigkeit z,

und die Notation soll sich schon daran erinnern, dass hiermit die zugänglichen Konfigurationen beschrieben werden,

die die zugänglichen Konfigurationen eines Systems beschreibt.

Sie sehen also, wir kümmern uns überhaupt nicht mehr um den absoluten Raum oder den daraus gebauten Konfigurationsraum für mehrere Teilchen,

sondern wir begeben uns von Anfang an auf das Niveau angenommen, wir haben hier ein System mit einem gewissen Satz an zugänglichen Konfigurationen.

Im Trivialfall ist das natürlich einfach z ist der absolute Raum, oder z sind Groß N Kopien des absoluten Raums,

also Groß z gleich Q gleich die Konfigurationsmannigfaltigkeit ohne Zwangsbedingungen, das sind natürlich alles Sonderfälle,

das ist natürlich das allgemeine Objekt. Für eine solche Mannigfaltigkeit konstruieren wir neben dem Geschwindigkeitsphasenraum,

das hatten wir ja vorher schon gemacht, neben dem sogenannten Geschwindigkeitsphasenraum,

und wie hieß der nochmal? Naja, der hieß Tz und dem konnten wir auch eine Topologie geben, aber vor allem konnten wir diesem Tz auch einen Atlas Tz geben,

den wir allerdings aus diesem Atlas von z bauen konnten, das war die übliche Konstruktion über diese Xi Karten.

Also konstruieren wir neben diesem Geschwindigkeitsphasenraum, den wir schon haben, nun den, naja, und wie würde man es betonen,

eigentlich den Phasenraum, wenn wir betonen wollen, dass es ein anderer ist, können wir sagen, den echten oder den Impulsphasenraum,

oder den kanonischen Phasenraum, wie auch immer Sie das Ding nennen, wir nennen es einfach kurz Phasenraum,

da kann man es da in Klammern setzen, Phasenraum, ja, und wie ist der definiert?

Das wird wieder eine glatte Mannigfaltigkeit, aber statt des Tangentialbündels wird es das Kortangentialbündel,

und mit dem haben Sie sich ja auch schon beschäftigt in den Übungsaufgaben, also die Menge, also die zunächst mal reine, nackte Menge T Sternz,

und die ist wiederum definiert als die disjunkte Vereinigung über alle Punkte klein z in groß z, über die Kortangentialräume jeweils am Punkt z,

und dazu gehört aber also die Menge und die Projektionsabbildung, die heißt Pi,

so eine Projektionsabbildung hatten wir auch schon mal bei dem Tangentialbündel, also ohne den Stern, und um die beiden auseinander zu halten,

eigentlich ist es kein Problem, die auseinander zu halten, aber am Anfang schreibe ich jetzt mal als Index mit dabei,

die Projektion auf welchem Bündel das ist, das ist das Pi T Sternz, das geht von T Sternz runter nach z,

und wie tut es das? Na wann immer Sie ein Element aus Pi Sternz haben, dann wissen Sie, wegen der disjunkten Vereinigung,

muss es dann ein Element irgendeines Kortangentialraums sein, und in der Tat wegen der disjunkten Vereinigung,

muss es das Element eines ganz bestimmten Tangentialraums sein, und genau dieses z orten wir ihm zu,

wir orten also das z zu, wird abgebildet auf das z, für das, und ich sollte sagen für das einzige z,

also eine Eindeutigkeit, für das einzige z, für das Pi in T Stern z von z liegt,

das ist halt ein ganz bestimmtes, wegen der disjunkten Vereinigung, das ist nochmal genau das gleiche,

dann haben Sie dieses Bündel, aber das Bündel reicht uns ja nicht, wir möchten dazu ja auch eine Karte,

also einen ganzen Atlas basteln, Konstruktion eines Atlanten für T Stern z, ja das machen wir wie zuvor,

wir nehmen einfach für jede Karte, ich ratte das hier so ab, weil es exakt analog geht zum Geschwindigkeitsphasenraum,

für jede Karte u Komma, jetzt habe ich hier mit den z ein bisschen übertrieben, also das z ist ein Punkt,

und das z hier ist jetzt eine Kartenabbildung, okay, Sie können auch hier ein P, da ein P, und da ein P,

schreiben, okay, also jetzt das z eine Kartenabbildung, ja ist doch egal oder, also für jede Karte,

soll ich es Ihnen noch ändern, damit keine Verwirrung entsteht, machen wir hier ein P, Sie mögen das ja mit dem Wischensower,

hat in der Evaluation gestanden, Sie haben gesagt, das gibt einem immer wieder die Möglichkeit, das nochmal neu zu durchdenken,