Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. Nehmen Sie bitte Platz. So, heute werden wir nach all den Mühen der bisherigen

Vorlesung weitere Mühen auf uns nehmen, aber immerhin werden wir am Schluss heute schon eine

Frucht ernten und zwar ist es das, was ich Ihnen am Anfang versprochen hatte. Sie wissen alle aus

dem zweiten Newtonischen Aktion, zweites Newtonisches Aktion, da ist die Rede und es ist tatsächlich

sprachlich die Rede, nicht etwa durch Formel die Rede, dass Masse mal Beschleunigung gleich Kraft

ist und die Kraft die wollen wir durch ein Vektorfeld später modellieren, aber wir haben

schon gesehen, dass die Beschleunigung unmöglich, wenn man sie in einer Karte anguckt, unmöglich

gegeben sein kann durch die zweiten Ableitungen des Ortes der Kurve. Also das was man üblicherweise

sagt, die Beschleunigung ist irgendwie gegeben, wenn das die Komponenten QA der Kurve in einer

Karte sind, dass sie da zweimal ableiten, ob sie jetzt Striche dran machen oder zweimal ableiten,

das kann unmöglich die Beschleunigung sein, denn das transformiert ja gar nicht als Vektor,

während die Kraft als Vektor transformiert und die Frucht, die wir heute ernten werden,

am Ende der heutigen Vorlesung werden wir vollständig verstehen, was die Beschleunigung ist,

wie sie hinzuschreiben ist, wir werden also quasi eins der zentralen Elemente der Newtonischen

Aktionen werden wir definiert haben. Jetzt denken Sie vielleicht, wir haben uns da sehr viel Mühe

angetan, um ein Objekt zu definieren, aber das wird heute auch schon im Wesentlichen der Abschluss

der mathematischen Fundamente sein, wir haben jetzt nebenbei mit diesem Ziel, haben wir nebenbei alles

aufgesammelt, was wir jeweils benötigen werden, in der klassischen Mechanik, Newtonmechanik,

wo auch immer, inklusive allgemeiner Relativitätstheorie. Also es hat sich gelohnt, aber das ist der

Höhepunkt, der erste Höhepunkt von heute. Die heutige sechste Vorlesung heißt Zusammenhangsfelder

und Zusammenhangsfelder, das sind keine Tensorfelder, die transformieren nämlich anders diese

Zusammenhangsfelder, aber wenn sie Zusammenhangsfelder haben und sie haben Tensorfelder,

dann können sie alles mögliche machen und das werde ich Ihnen heute erst motivieren und dann

definieren. Und die ganze Geschichte startet damit, dass wir einen Definitionsversuch wagen,

also Definitionsversuch, welchen Objekt der Versuch möchte eine Richtungsableitung eines

Vektorfeldes definieren. Richtungsableitung und Sie wissen, wir hatten bereits Richtungsableitung

definiert, aber die auf eine Funktion wirken. Sie erinnern sich, eine Richtungsableitung war ein

lineare Operator, der auf eine glatte Funktion wirkt und eine Zahl ergibt. Jetzt wollen wir

Richtungsableitungen hinschreiben, die auf Vektorfelder wirken. Also Richtungsableitung,

nun nicht einer Funktion, das kennen wir schon, sondern Richtungsableitung eines Vektorfeldes.

Und gleich vorweg, Sie sehen es schon an der Terminologie, Versuch, es wird schiefgehen.

Ja, das geht schief, so wie wir es jetzt machen, aber es geht interessant schief. Und

interessant so, wir können es reparieren, man kann repariert werden, dieser Versuch,

der zunächst mal schiefgeht, aber es ist gut erstmal quasi mit dem Kopf an die Wand zu laufen,

um zu sehen, was man da eigentlich will, kann repariert werden und zwar durch die Einführung

sogenannter Zusammenhangsfelder. Das ist jetzt hier die Storyline und ich möchte doch kurz was

vorwegnehmen, in der letzten Vorlesung hatte ich ja Vektorfelder und Tensorfelder eingeführt,

noch mal als kleine Wiederholung und ich schreibe jetzt mal immer Vf für Vektorfelder, ich denke,

das ist eine okay Abkürzung. So ein Vektorfeld y, da haben wir gesagt, das ist an jedem Punkt

definiert und wie es an jedem Punkt definiert, in der letzten Vorlesung hatten wir gesagt,

indem ich Komponenten angebe, y, a, die bezüglich einer gewissen Karte definiert sind und das sind

die Komponenten und die werden dann bezüglich der Basis d nach dx, a ausgedrückt, das waren die

Komponenten des Vektors am Punkt P, das war die Basis und wenn ich dieses P jetzt laufen lasse,

also für alle möglichen P das angucke, dann hatten wir hier diese Komponenten, hatten wir definiert

als abhängig von, also es da sagt nur bezüglich der Karte x, aber abhängig vom Punkt x von P,

das heißt wir hatten diese Tensorfeldkomponenten, das heißt Komponenten, die ja wirklich Komponenten

Funktionen sind, diese y, i und x, von wo nach wo gehen die, die gehen vom Bild des Kartengebietes,

das Kartengebiet sei mal u für diese Karte x, vom Bild x von u des Kartengebietes in die

reellen Zahlen und das ist auch alles vollständig richtig und konsistent und alles was wir gemacht