Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen und willkommen zur 13. Vorlesung. Letztes Mal hatten wir uns ganz konkret ein

Impulsmessgerät angeschaut und hatten dann verstanden, wie wir die Amplitude,

dass ein bestimmter Impuls gemessen wird für ein Teilchen, wie wir diese Amplitude berechnen

können, wenn wir die Ortsamplitude kennen, also die Ortswellenfunktion, also die Amplitude,

dass sich das Teilchen in irgendeinem Ort befindet. Und es wurde ziemlich klar, das ist ein sehr

schneller Ausdruck, das ist eine sogenannte Fourier-Transformation der Ortswellenfunktion.

Und es sieht ja jetzt nun mal so aus, als wäre der Impuls etwas ganz Besonderes, weil es da eben

diese Fourier-Transformation gibt, die die Amplitude einen bestimmten Impuls zu messen, aus der Amplitude

einen bestimmten Ort zu messen hervorbringt. Allerdings kann das natürlich nicht sein,

der Impuls ist einfach nur eine Observable, wie jeder andere auch. Und heute werden wir die

Erkenntnis vom letzten Mal verallgemeinern, und zwar auf eine beliebige Observable. Also wenn wir

in einer Raumdimension sind, können wir die eine Ortsvariable ersetzen durch eine bestimmte andere

Observable. Ich habe hier gleich mal mit Sternchen angeführt, wenn wir in höheren Dimensionen sind,

dann brauchen wir einen maximalen Satz paarweise kommutierender Observablen. Und ich werde das

heute auch in Verbindung bringen mit dem allgemeinen Rahmenwerk der Quantenmechanik. Und wir werden

da was wunderschönes sehen, wir werden nämlich sehen, dass die Fourier-Transformation, da kam ja

dieses e hoch minus ipx vor. Und dieses e hoch minus ipx, das haben wir schon mal gesehen, und zwar

als eine Komponente der Ebenenwelle. Und die Ebenenwelle war aber eine temperierte Distribution,

wenn Sie sich richtig erinnern, weil die ja nicht quadratintegrabel war. Und das waren tatsächlich

die verallgemeinerten distributionellen Eigenfunktionen welchen Operators, ja des Impuls-Operators. Welcher

Zufall, welcher Zufall. Also wir kommen von der Ortswellenfunktion zur Wellenfunktion ausgedrückt,

also im Impulsraum ausgedrückt durch den Impuls, indem wir da diese e hoch minus ipx einschieben,

die tatsächlich auch was mit dem Impuls zu tun haben, nämlich als Komponenten dieser Distribution

des Impuls-Operators. Das könnte jetzt ein Zufall sein, das könnte quasi ein anderes e hoch minus

ipx sein. Daraus lässt sich noch nichts schließen. Da werden heute festgestellt, es ist genau dieses

e hoch minus ipx. Und das gibt uns auch eine ganz allgemeine Vorschrift, wie das für allgemeine

Observablen geht. Also wir beginnen heute damit, oder wir führen das aus heute, ein allgemeines

Messgerät zu beschreiben. Und unsere erste Beschreibung im ersten Abschnitt wird ein allgemeines

Messgerät sein, modelliert durch eine Übergangsamplitude. Modelliert durch eine Übergangsamplitude.

So, also wieso sieht so eine Situation aus? Also wir bauen uns ein Messgerät und ich werde jetzt

immer dieses Rahmenwerk der Quantenmechanik mischen mit einer physikalischen Betrachtung.

Sie sagen, möchte ich aber nicht, ich möchte das eine oder das andere. Ja, wir müssen es mischen, wenn wir

sie in Verbindung bringen wollen. Wir müssen jetzt also die physikalische Situation betrachten und

auch immer mal wieder sehen, was das allgemeine Rahmenwerk der Quantenmechanik dazu sagt. Und dann

bekommen wir die Verbindung. Also ich nehme hier so ein Messgerät her. Das soll jetzt also im Labor

tatsächlich ein Messgerät sein für die observable Groß a. Und wir wissen aus dem Rahmenwerk der

Quantenmechanik im Allgemeinen, dass dieses a ein selbstadjungierter Operator wäre im Rahmenwerk der

Quantenmechanik. Da würde man so ein Messgerät durch einen selbstadjungierten Operator beschreiben,

aber im Labor haben sie dann ein schön glänzendes Messgerät, auf dem außen Groß a gedruckt ist. Als

solches ist es nämlich verkauft worden. Es ist aber ein Messgerät. Und jetzt wissen wir, was so ein

Messgerät messen kann. So ein Messgerät kann nämlich auf einer Skala, das hat nämlich hier einen Zeiger,

ich habe ihn immer so ausschlagen gemacht, der könnte ja auch so ausschlagen, da gab es immer einen

Zeiger, richtig? Und der Zeiger zeigt auf einer Skala irgendwo hin. Aber wie kann denn die Skala

aussehen, wenn das das Messgerät ist, das im allgemeinen Rahmenwerk durch einen selbstadjungierten

Operator a beschrieben wird? Naja, diese Skala, die kann hier so kontinuierliche Teile haben, die

kann aber durchaus auch einen diskreten Teil haben und da können sogar diskrete Messwerte im Kontinuum

noch mal eingebettet sein. Also kurz gesagt, die Skala, die sie da aufführen müssen, diese Skala

ist das Spektrum des selbstadjungierten Operators, richtig? Sie haben Messwerte, die können nur so

hüpfen, diskret sein, sie haben Messwerte oder Bereiche, wo der Messwert eventuell kontinuierlich