Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, hallo, guten Morgen. Heute will ich das Kapitel über Gase abschließen, indem ich nochmal zurückgehe zu dem aller einfachsten Fall und das wäre das klassische ideale Gas.

Aber wir werden es jetzt betrachten sozusagen als klassischen Grenzfall von der quantenmechanischen Version.

Egal ob man von Fermion oder Boson startet, bei hohen Temperaturen kriegt man all die einfachen Formeln, die Sie auch schon aus früheren Vorlesungen kennen. Okay.

Wir werden jetzt also einfach von der Fermion- oder Bosse-Verteilung starten und sagen, wir wollen in Limes hohe Temperaturen nehmen.

Also schauen wir uns einfach mal an, was passiert. Und wir wissen, die Verteilung ist so, dass man sich anschaut, wie ist der Energiezustand L, sagen wir besetzt oder vielleicht K besser.

Und dann hatten wir 1 durch E hoch Beta Epsilon K minus Mu und nun steht da Plus oder Minus 1, je nachdem ob wir Fermion oder Boson haben.

Plus 1 für Fermion, Minus 1 für Boson. Und wir wollen jetzt den Grenzfall großer Temperaturen nehmen.

Große Temperaturen bedeutet, dass Beta selber, also die Invasietemperatur gegen Null geht.

Sorry. Okay, große Temperaturen bedeutet tatsächlich, dass Beta gegen Null geht, aber Mu geht auch gegen Minus unendlich.

Und ich werde dann gleich zeigen, dass es tatsächlich bedeutet, dass dieser Faktor E hoch Beta Epsilon minus Mu gegen unendlich geht.

Wenn wir entweder bei niedriger Dichte sind oder bei hoher Temperatur.

Und wenn dieser Faktor wirklich gegen unendlich geht, dann kann man das Plus oder Minus 1 praktisch vernachlässigen und es kommt nicht mehr darauf an, ob wir Fermion oder Boson haben.

Und insgesamt ist dann dieser Bruch gleich E hoch Minus Beta Epsilon minus Mu.

Also plötzlich verschwindet dieser Unterschied zwischen Fermion und Boson.

Und gleichzeitig unter der Annahme, dass tatsächlich E hoch Beta mal Epsilon minus Mu gegen unendlich geht, ist E hoch Minus Beta was Kleines.

Und das heißt, die Besetzungszahl im Zustand K ist sehr viel kleiner als 1.

Und das ist dann auch der eigentliche Grund, warum es nicht mehr wichtig ist, ob wir Fermion oder Boson haben.

Wenn sowieso nur meistens Null Teilchen in einem Zustand sind und ab und zu vielleicht mal ein Teilchen und fast niemals zwei Teilchen,

dann merkt man auch nicht, ob es Boson sind, wo zwei Teilchen erlaubt wären oder Fermion.

Okay, und was das nun aber bedeutet, ist, wir bekommen die Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung,

wenn wir wirklich an einen Gas von freien Teilchen denken, denn Epsilon k, die kinetische Energie, ist dann eben einfach ein Puls Quadrat durch 2m.

Okay.

Jetzt wollen wir den Zusammenhang zwischen Druck und Volumen ausrechnen.

Wir wissen, am Ende sollte P mal V gleich N mal K mal T rauskommen. Ganz einfach, wie wir das erwarten.

Aber wie machen wir das in diesem Fall?

Nun, was ich am Ende verwenden möchte, ist die Formel, die wir einmal abgeleitet haben,

dass das großkanonische Potential Phi einfach gleich minus P mal V ist.

Wenn wir das berechnen könnten, dann wären wir fertig. Also, was ist Phi?

Das ist natürlich minus KT mal der Logarithmus aus der großkanonischen Zustandssumme.

Also erhält sich nun die Frage, was ist die großkanonische Zustandssumme?

Okay.

Auch das ist eine Sache, die wir uns schon mal angeschaut haben für Fermion oder Boson.

Alles, was ich tun muss, ist, ich muss integrieren über alle Zustände, die ich so habe.

Und hier nehme ich mal die Zustandsdichte zur Hilfe.

Und dann steht da der Logarithmus aus 1 Plus oder Minus E hoch Minus Beta Epsilon Minus Mö.

Das macht nicht auch noch mal Plus oder Minus. Plus oder Minus bezieht sich wieder auf Fermion oder Boson.

Das war halt die Formel für die großkanonische Zustandssumme in diesem Fall.

Jetzt verwende ich aber wieder, dass dieses E hoch Minus Beta sehr viel kleiner ist als 1.

Dann kann ich nämlich den Logarithmus entwickeln.

Das Logarithmus von 1 Plus x ist ungefähr x. Und das heißt, alles, was ich bekomme, ist Plus Minus.

Die Exponentialfunktion ist Plus Minus, geht mit dem da vorne weg.

Und ich bekomme Integral über alle Energien, Zustandsdichte mal E hoch Minus Beta Epsilon Minus Mö.

Das ist nun interessant, weil E hoch Minus Beta Epsilon Minus Mö ist ja auch gerade die Besetzungsfunktion.

Und wenn ich die Besetzung mit der Zustandsdichte multipliziere und integriere, bekomme ich die Teilchenzahl.

Das heißt, der Logarithmus aus der großkanonischen Zustandssumme ist ganz einfach die Teilchenzahl.

Und das bedeutet Phi, also Minus P mal V, ist dann Minus K mal T mal N.

Und damit steht es schon da. P mal V ist N mal K mal T.

Und das ist die Formel, die wir erwarten.

Okay, also das ist die übliche Formel. Wenn wir Druck gegen Volumen auftragen, bekommen wir diese Hyperblen.