Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ok, hallo, guten Morgen. Ich möchte heute das Kapitel über Phasenübergänge abschließen und dann die Thermodynamik beginnen.

Noch mal kurz zur Wiederholung. Wir hatten als Beispiel immer das Easing-Modell verwendet und gesehen, dass es in zwei Dimensionen jedenfalls einen Phasenübergang gibt, genauso auch in drei Dimensionen.

Und wir hatten dann die Molekularfeldnäherung als allgemeine Nährung eingeführt.

Und was wir am Ende der letzten Stunde gemacht haben, war eine alternative Variante, die am Ende auch zur Molekularfeldnäherung führt, uns anzuschauen, und das war die sogenannte Landau-Theorie.

Und die Idee bei der Landau-Theorie war, man sagt sich, was ist die wesentliche makroskopische Variante, die mich wirklich interessiert?

Und das ist halt die Magnetisierung, weil die auch wichtig in der Anwendung ist.

Und dann ist die Idee, so vorzugehen, wie wir das immer gemacht haben, wenn wir so eine makroskopische Variante identifiziert haben, dass wir sagen, wir können eine effektive, freie Energie definieren, die nur von dieser makroskopischen Variante abhängt.

Und das geht immer im Prinzip. Nur diese freie Energie auszurechnen, bräuchte dann auch wieder eine Computersimulation und wäre mindestens genauso schwierig, wie gleich direkt die Magnetisierung ausrechnen.

Was dann aber sich ergeben hat, ist, wenn man schon ein bisschen Ahnung hat von der Physik, die da auftritt, dann kann man einen Ansatz machen für die freie Energie, wie die abhängt von der Magnetisierung und von der Temperatur, und das war die Idee von Landau.

Und diese Idee ist völlig allgemein und sehr, sehr wichtig.

Jetzt speziell beim Easing-Modell haben wir eine räumliche Magnetisierung, räumlich gemähtete Magnetisierung, die haben wir immer sigma quer genannt, zwischen minus eins und plus eins. Und wir können dann eine freie Energie betrachten, die davon abhängt.

Und damit es jetzt nicht von der Systemgröße abhängt am Ende, stellt man sich gerne vor, ich betrachte die freie Energie pro Teilchen, also pro Gitterplatz.

Und die Idee von Landau war dann zu sagen, ich interessiere mich für das Verhalten nahe dem Phasenübergang. Und ich weiß aus meiner Erfahrung, zum Beispiel aus der Molekularfeldnäherung oder so, dass da die Magnetisierung noch relativ klein ist, das heißt, ich habe die Idee, diese freie Energie als Tellerreihe in der Magnetisierung darzustellen.

Und dann kann ich mir nämlich überlegen, welche Terme diese Tellerreihe enthalten darf und welche nicht. Einfach aus der Symmetrie des Problems.

Und ich weiß, wenn kein Magnetfeld angelegt ist, dann ist positive Magnetisierung ganz genauso gut wie negative Magnetisierung.

Das heißt, in dieser Tellerreihe sollte nichts vorkommen, was dafür sorgt, dass die Funktion bei positiven sigma einen anderen Wert hat als bei negativen sigma.

Mit anderen Worten, das sollte völlig symmetrisch sein und das bedeutet, in der Tellerreihe könnte ich hier mit der Konstante beginnen, die ist mir aber jetzt nicht wichtig.

Und dann geht es los mit sigma² und sigma hoch 4 und eigentlich so weiter. Aber diese ersten beiden Terme, die reichen uns schon.

Dann haben wir uns überlegt, wie die Koeffizienten hier voraussehen.

Und auch das haben wir qualitativ gemacht, indem wir uns Bilder gemalt haben, indem wir gesagt haben, oberhalb TC sollte die freie Energie nur ein Minimum haben, weil wir wissen, da ist das System immer bei Magnetisierung null.

Bei mittlerer Magnetisierung null. Und unterhalb sollte sie in dem Fall jetzt zwei symmetrisch gelegene Minima haben.

Das entspricht den beiden Lösungen für die spontane Magnetisierung.

Und das bedeutet, die Krümmung bei null muss ihr Vorzeichen wechseln und das haben wir dann hier eingebaut.

Und davor steht dann halt noch irgendein Vorfaktor, nennen wir ihn A2-Strich für die Ableitung von dem Koeffizienten, der vor der zweiten Ordnung steht.

Und dann gibt es den Hoch 4-Termin, der hier vor der zweiten Ordnung steht.

Und dann gibt es den Hoch 4-Termin, der ist wichtig unterhalb TC, weil wenn die Parabel hier so negativ gekrümmt ist, will ich trotzdem dafür sorgen, dass ich zwei stabile Minima bekomme.

Und das kann ich nur, wenn ich wieder eine positive Krümmung in diesem Hoch 4-Termin habe.

Okay. Und dann gäbe es weitere Terme, die hier aber nicht wichtig sind, wenn wir nahe TC sind, wo Sigma klein ist.

Gut, das war also die Landau-Idee. Und die ist sehr allgemein, die könnte ich auch anwenden, wenn zum Beispiel ich ein Modell habe, wo die Magnetisierung nicht einfach nur eine reelle Zahl ist, die positiv oder negativ sein kann, sondern vielleicht ein Vektor, der in alle Raumrichtungen zeigen kann oder auch beliebige andere Modelle.

Und die Idee ist dann immer, sich zu überlegen aus der Symmetrie des mikroskopischen Problems, welche Terme dürfen überhaupt vorkommen in dieser freien Energie.

Dann schreibt man den Ansatz hin mit freien Koeffizienten.

Okay. Jetzt wollen wir aber herausfinden, was dieser Ansatz vorher sagt. Und das heißt, wir wollen herausfinden, wo liegt das Minimum der freien Energie?

Denn wir wissen, das Minimum der freien Energie ist der Zustand, der im Gleichgewicht wirklich angenommen wird für so eine makroskopische Variable.

Mit kleinen Fluktuationen drum herum, die aber immer kleiner werden, je größer das System ist.

Okay, das heißt, jetzt geht es zurück auf die Schulmathematik. Wir müssen ja das Minimum dieser Funktion finden.

Also, F' also die Ableitung von F nach Sigma soll Null sein und das heißt, ich habe hier 2 Sigma quer plus 4 Sigma hoch 3 ist gleich Null.

Und ja, das sieht jetzt schon sehr ähnlich aus, wie das, was wir bei der Molekallafeldnäherung bekommen haben, als wir dort entwickelt haben.

Natürlich gibt es immer die Lösung Sigma quer gleich Null. Das sieht man auch an den Kurven. Entweder ist da nämlich ein Minimum oder ein Maximum.

Also, das wissen wir schon. Das ist immer eine Lösung. Und dann gibt es aber manchmal mehr Lösungen.

Das heißt, ich kann jetzt durch Sigma quer dividieren, weil ich an den anderen Lösungen interessiert bin, die nicht Null sind.

Und was sich dann ergibt, ist dieses hier und dann kann ich auflösen nach Sigma quer Quadrat.

Das ist dann also minus A2' durch 2A4 T minus Tc. Aber anstatt ein Minus hinzuschreiben, kann ich auch ein Plus hinschreiben und dann Tc minus T benutzen.

Und offenbar gibt es dafür Lösungen, reelle Lösungen, wenn die Temperatur unterhalb Tc liegt.

Und die sind wieder von der Gestalt, dass Sigma quer proportional ist Plus oder Minus Wurzel aus Tc minus T.

Und das bedeutet, aus diesem völlig allgemeinen Ansatz haben wir ein Ergebnis erhalten, das in dieser Hinsicht wieder genauso aussieht wie die Molekallafeldnäherung.

Wenn man jetzt nichts besseres wüsste, würde man daraus vielleicht einen Schluss ziehen, dass die Molekallafeldnäherung die Wahrheit sagt, aber das ist leider nicht so.

Okay, also was sich ergibt, ist wieder die Kurven, die wir schon die ganze Zeit kennen.

Okay, immerhin ist es ein schneller Weg für ein beliebiges System, aus den mikroskopischen Symmetrien sich so einen Ansatz zu beschaffen und dann eine erste Vorhersage zu bekommen.

Jetzt noch ein bisschen was zur Sprache, dieses Sigma quer nennt sich Ordnungsparameter.