Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Dann hallo allerseits, guten Morgen. Wir haben gerade angefangen uns das chemische Potenzial

anzuschauen. Bevor ich da hingehe, war ich gebeten worden nochmal allgemein zu sagen,

was ist die Grundlage dieser Vorlesung, also von der Logik her. Die Grundlage ist einfach die

Boltzmann-Verteilung in der Quantenmechanik, die wir nicht hergeleitet haben, aber die wir

sozusagen voraussetzen und die wir ein bisschen phenomenologisch motiviert haben. Das heißt,

sozusagen anstelle von dem Newtonischen Gesetz oder Maxwell-Gleichung tritt in dieser Vorlesung die

Behauptung, dass wenn man Systeme sich selbst überlässt und lang genug wartet und danach misst,

wie der eine oder andere Energieeigenzustand vorkommt, dann findet man die mit Wahrscheinlichkeiten,

die gegeben sind, eben durch die kanonische Verteilung oder Boltzmann-Verteilung oder

Boltzmann-Gipsverteilung, das heißt von der Gestalt e hoch minus en durch kBt dividiert

durch Zustandssumme zur Normierung. Und alles, alles, was wir jetzt herleiten, folgt eigentlich

daraus. Wir brauchen momentan nichts weiter als dieses. Okay, also das ist die Grundlage.

Und warum nehmen wir das als Grundlage und nicht einfach die Quantenmechanik oder die

klassische Mechanik? Der Grund ist, dass es bis heute keinen allgemeinen Beweis gibt von

der Sorte, dass man sagt, ich starte mit der Quantenmechanik und mit einem Hamilton-Operator,

der vielleicht noch gewisse Voraussetzungen erfüllt, wie das die Kräfte nicht so langreichweitig

sind. Und ich behaupte dann, dass für fast alle Anfangszustände im Laufe der Zeitentwicklung

sich etwas ergibt, was korrekt hierdurch beschrieben wird. Also solch einen Beweis gibt es einfach

noch nicht, aber es gibt viele Versuche, auch speziell in jüngerer Zeit, zumindest an einzelnen

Modellsystemen zu verstehen, wann und unter welchen Umständen man genau zu dieser Verteilung

relaxiert. Also sozusagen das, was wir am Anfang der Vorlesung in numerischen Simulationen

für klassische Systeme, für das Gas beispielsweise, gesehen haben, das versucht man auch in der

Quantenmechanik. Das Problem ist nur, damit man ins Gleichgewicht gelangt, braucht man

wirklich Wechselwirkungen und man braucht viele Teilchen. Und das Problem ist, dass

dann der Hilbertraum in der Quantenmechanik exponentiell groß wird und das richtig schwierig

ist. Wenn man dann also numerische Experimente macht, hat man mit vielen Teilchen, meint

man dann vielleicht sieben Teilchen auf 20 Gitterplätzen oder so etwas. Und manchmal

sieht man dann schon die Tendenz hin zu dem, was man wirklich erwartet im thermodynamischen

Liemes, also für richtig viele Teilchen. Okay, gut, wir waren daraus gestartet, wir

hatten dann gesehen die verschiedenen Eigenschaften der Zustandssumme. Aus der Zustandssumme kann

man sich eine freie Energie definieren, die sehr nützlich ist. Und wir hatten speziell

das letzte Mal verstanden, wie, wenn man viele Freiheitsgrade hat, das manchmal günstig

ist, etliche davon auszuintegrieren, wie man sagt, und dann nur noch sich auf ein oder

zwei zu konzentrieren. Und unser bevorzugtes Beispiel war so ein Kasten mit einer verschiebbaren

Stellwand. Und es stellt sich dann heraus, die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort

x dieser Stellwand wird dort maximal, wo die gesamte freie Energie minimal wird. Und das

führt dann auf diese Vorstellung, die Sie überall finden, dass wir das Gleichgewicht

richtig beschreiben, wenn wir die freie Energie minimieren als Funktion eben solch eines Parameters,

solch eines makroskopischen Parameters, wie der Koordinator von der Stellwand. Und das

hat uns dann auf die Definition geführt vom Druck. Der Druck war einfach gewesen die negative

Ableitung der freien Energie nach dem Volumen, weil wenn man es so definiert, dann stellt

es sich heraus, dass die Minimierung der gesamten freien Energie in solch einem System tatsächlich

auf die Bedingung führt, dass die Drucke auf beiden Seiten gleich sind. Das liegt einfach

daran, wenn man die gesamte freie Energie als Summe der beiden freien Energien schreibt

und dann ganz normal das Minimum sucht, indem man ableitet nach dem x oder nach dem Volumen

des linken Kastens, dann ergibt sich eben das P1 gleich P2, wenn die Drucke so definiert

sind. Und wir hatten dann auch argumentiert, dass dieser sogenannte thermodynamische Druck,

den wir aus der freien Energie definieren, auch identisch ist mit dem mechanischen Druck,

den man sich so vorstellt, wenn die Teilchen auf einer Wand prasseln. Und jetzt mit dem