Herzlich willkommen zur letzten Sitzung des Demesters.

Ja, wir wollten uns befassen mit Sprachen als Codaten, mit anderen Worten.

Mit anderen Worten, wir wollten uns befassen mit einer Sicht auf Automaten, in der Automaten eben

Co-Algebren sind für eine bestimmte Mengenkonstruktion und zwar eben für diese hier,

die eine Menge Q nimmt, dann zunächst mal den Funktionraum bildet, der Funktion vom

Alphabet Sigma nach Q und das Ganze dann verkreuzt mit der Menge der Buhlsen Wahrheitswerte 2.

Und zwar besteht so eine Co-Algebra Struktur dann natürlich eben aus zwei Komponenten,

einer ersten Komponente, das ist eine Abbildung F von Q nach 2, die sagt uns ob ein gegebener

Zustand final ist oder nicht und eine zweite Abbildung Delta von Q nach Sigma nach Q,

was also dann schlicht und einfach die Nachfolgerabbildung ist, gut mit

vertauschten Argumenten und Encouraged Schreibweise. Daraus ergeben sich sofort zwei Begriffe,

einerseits ein Begriff von Morphismus von solchen Co-Algebren, wir machen uns kurz klar,

wann so eine Abbildung ein Morphismus ist und zum anderen ein Begriff von Bissimilarität oder

Bissimulation auf solchen Dingen. Ja, sehen wir uns das mal an, sagen wir, wir haben Automaten A und B,

ich sage immer Automat, das ist so ein bisschen natürlich geschummelt zu einem Automaten, gehört

außerdem noch zu einem Anfangszustand. Also die Co-Algebren sind immer die sogenannten Transitionssysteme,

wenn man will, also Automaten minus der Anfangszustand, also ich nehme, wenn ich einen

Automaten haben will, brauche ich immer so eine Co-Algebra und einen Anfangszustand. Den

Anfangszustand, den kriege ich halt nicht in so eine Co-Algebra Struktur geschummelt, deswegen muss man

den gesondert behandeln. So, also ich nehme jetzt also an, ich hätte zwei Automaten A und B und

will jetzt sagen, wann ist so eine Funktion F hier ein Homo-Morphismus, ein Co-Algebra-Morphismus von A nach B.

Nun, dazu muss ich das Diagramm vervollständigen um die beiden Co-Algebra Strukturen, das heißt,

hier einmal diesen Pfeil F A, Delta A nach 2 Kreuz Sigma nach Q A und hier F B, Delta B nach

2 Kreuz Sigma nach Q B und hier unten habe ich dann einen Pfeil, wo ich praktisch die

Mengenkonstruktion wieder auf meine Abbildungen anwende. Das ist 2 Kreuz Sigma Pfeil F. Wir hatten

uns letztes Mal überlegt, dass also dieses Sigma Pfeil F hier darin besteht, dass ich eine Funktion

von Sigma nach Q A eben gerade von links mit dem F komponiere und dann bekomme ich eine Funktion von

Sigma nach Q B. So, das muss kommutieren und man kann sich fragen, was das dann genau im Einzelnen heißt.

So, und was man beobachtet ist, das ist ja eine Funktion, obenrum wie untenrum, die rechnet

mir aus einem Zustand in Q A ein Paar aus, bestehend aus einem Wahrheitswert und einer Funktion von Sigma

nach Q B. So, da muss also obenrum wie untenrum das Gleiche rauskommen. Das reduziert sich natürlich

darauf, es kommt immer in der linken Komponente das Gleiche raus und es kommt in der rechten

Komponente das Gleiche raus. Da können wir also zwei Bedingungen darauf machen. Gucken wir uns

erst die linke Komponente an, es muss also der gleiche Wahrheitswert hier rauskommen. Das heißt,

F B von F von irgendeinem Zustand Q muss gleich sein, Weg hier untenrum, einfach, da wird zunächst

F A angewendet und dann hier 2 steht ja für die Identität auf 2, das heißt, da passiert gar nichts,

das heißt, da muss das Gleiche rauskommen wie bei direkter Anwendung von F A auf Q. So, mit

anderen Worten, mit anderen Worten, F lässt Finalität invariant, ja, also Q, ein Zustand Q,

der ist final genau dann, wenn F von Q final ist. Und, das war also die erste Bedingung und die

zweite Bedingung, sehen wir, indem wir hier rechtsrum verfolgen, das heißt, hier wenden wir zunächst

F an und dann Delta B bekommen eine Funktion von Sigma nach Q B, ich sage mal gleich, also ich

schreibe das gleich mit in angewendeter Form hin, also angewendet auf irgendeinen generischen

Buchstaben A aus Sigma, dann bekomme ich also Delta B von F von Q von irgendeinem Buchstaben A,

das soll gleich sein, dem was ich kriege, wenn ich untenrum lang gehe, untenrum wird also zuerst

Delta A auf Q angewendet, dann noch mal auf A und, naja, andersrum, also zunächst wird Delta A auf Q

angewendet, so, dann lande ich hier, dann habe ich also eine Funktion von Sigma nach Q A und auf die

wende ich noch mal Sigma Pfeil F an, mit anderen Worten, ich komponiere sie von links mit F, wenn

ich also die entstehende Funktion auf einen Buchstaben A anwende, dann ist das was rauskommt,

das was ich bekomme indem ich erst Delta A von Q anwende und dann noch mal F. So, das sind also

die beiden Bedingungen, die da rauskommen, die also auch völlig natürlich sind. So, und ähnlich