Hallo, guten Morgen. Wir schauen uns gerade wirklich eine Quantenfeldtheorie an, auf dem Gitter,

und zugegeben noch einfach, das heißt der Hamilton-Operator ist nur quadratisch,

aber das ist schon interessant genug für den Moment. Ich will nochmal kurz wiederholen,

wie wir das gelöst haben. Hier haben wir also unsere Pendel, die über Federn miteinander

gekoppelt sind und die Plätze 1 bis N haben und wir hatten außerdem angesetzt, dass periodische

Randbedingungen gelten, das heißt das letzte Pendel wird gleich wieder mit dem ersten Pendel

verknüpft werden. Und dann kann man verschiedene Fragen stellen, zum Beispiel was würde dann

passieren, wenn alle Pendel erst in Ruhe sind und dann nur das Pendel in der Mitte ausgelenkt

wird und losgelassen wird, was passiert dann? Und wir können uns schon vorstellen, dann werden

die benachbarten Pendel angeregt und dann wird die Anregung so langsam durch die Kette sich bewegen.

Okay und das kann man nun wirklich lösen, indem man hergeht und sagt, weil es ein

Translationsinvariantes System ist, sind die Normalmoden vermutlich Ebene Wellen und mit

dem Ansatz sind wir tatsächlich durchgekommen und der hat uns dann darauf geführt, dass die

Auslenkung oder dass der Feldoperator, der Vernichtungsoperator zu einem gegebenen

Pendel, sagen wir L, ausgedrückt werden kann durch die Normalmoden, das heißt die

ebenden Wellen, das heißt da steht eine Summe über Wellenzahlen K, wir hatten auch diskutiert,

die sind diskret, es gibt ein Stück davon, die liegen im Intervall minus Pi bis Pi, diese Summe

über K, e hoch i K L, das sind die ebenden Wellen, dividiert durch Wurzel aus N, das ist die

Normierung dafür, wenn sie das Betragsquadrat nehmen und aufsummieren, kommt eins raus und dann

BK von T. BK ist der Vernichtungsoperator zu einer Normalmode und der entwickelt sich besonders

einfach, weil der Hamilton-operator nämlich diagonal ist, wenn man ihn durch diese BK ausdrückt

und die Zeitentwicklung von BK von T ist einfach eine Oszillation, das heißt e hoch minus i Groß

Omega K T mal BK von Null und die Frequenzen, die hatten wir auch schon berechnet. Gut und nun

kann man zum Zeitpunkt T gleich Null, die BK von Null wieder durch die AL von Null ausdrücken und

hat dann insgesamt eine Beziehung zwischen AL zum Zeitpunkt T und den Feldoperatoren zum Zeitpunkt

T gleich Null, das ist ja irgendwie das Beste, was man sich wünschen kann. Okay, das heißt,

wir hatten da weitergerechnet und wir hatten gefunden, AL von T ist eine Summe über alle

Plätze J, der Feldoperator zu dem Platz J am Zeitpunkt T gleich Null und dann davor muss stehen

eine Zahl, die mir gewissermaßen sagt, wie wahrscheinlich ist es, dass eine Anregung,

die ursprünglich sich bei J befunden hat, im Verlauf der Zeit T nach L sich bewegt und wenn

man all diese Geschichten ineinander einsetzt, dann hat man tatsächlich einen expliziten Ausdruck

für diese Zahl gefunden, das war eine Summe über K e hoch i K mal L minus J, hier tauchte nur die

Differenz der Orte auf, minus Omega K mal T und das Ganze dann noch dividiert durch N. Okay, das ist

also eine komplexe Funktion von dem Anfangsort J, dem Endort L und der Zeit T und das hatten wir

dann Propagator oder Green's Funktion genannt und wie man hieran sieht, in dem speziellen Fall war

der Propagator nur von der Differenz der Orte abhängig, das liegt daran, dass unser System

Translationsinvariante ist und kein Ort speziell ausgezeichnet ist. Okay und die Deutung davon war

gewesen, dass es gewissermaßen die Amplitude für eine Anregung in der Zeit T vom Ort J zum Ort L

zu gelangen und damit kann man dann auch genau diese Fragen beantworten, was passiert mit der

Auslenkung aller Pendel, wenn ich am Anfang nur ein gegebenes Pendel in der Mitte auslenke. Wir

werden uns gleich nochmal überlegen, wie die Zeitentwicklung der Feldoperatoren, also der

A zusammenhängt mit der Zeitentwicklung von X und P, aber zunächst mal wollen wir einfach diskutieren,

wie diese Green's Funktion aussieht. Okay, es wird jetzt also letztlich die Zeitentwicklung

des Realteils der Green's Funktion gezeigt oder physikalisch werden wir gleich nachher sehen,

bedeutet das, ich stelle mir vor, in der Mitte habe ich einen Pendel ausgelenkt, ich habe ihm aber

keine Geschwindigkeit gegeben, alle anderen Pendel sind in Ruhe und ich schaue dann, was passiert im

Lauf der Zeit mit den Auslenkungen und nach rechts ist einfach der Out in der Kette aufgetragen und

nach oben ist die Auslenkung aufgetragen und das passiert das, was man erwartet, erstens

oscilliert die Auslenkung und zweitens breitet sie sich in der Kette fort nach links und nach

rechts, denn durch die Kopplung werden eben auch die benachbarten Pendel angeregt und was sie hier