Okay, hallo, guten Morgen. Wir schauen uns gerade die Molekularfeldnährung in der Quantenmechanik an,

was einer der einfachsten, aber auch ziemlich leistungsfähigen Methoden ist, um für ein

Vielteilchen-System, was wechselwirkt, trotzdem noch einige angenährte Aussagen zu treffen. Und

die physikalische Idee ist einfach, dass ein Teilchen das mittlere Potential spürt, was von

den umgebenden Teilchen generiert wird. Und die technische Idee ist auch relativ einfach,

nämlich ein Variationsansatz, dass man zum Beispiel für Bosonen sagt, die Wellenfunktion ist einfach

ein Produkt aus einem und derselben Teilchenwellenfunktion. Und dann schaut man,

man variiert die Energie und versucht, die minimale Energie zu finden. Und wir waren für diesen Fall,

für die Bosonen, das letzte Mal noch auf die Gleichung gekommen, die sich als Bestimmungsgleichung

dann ergibt für die ein Teilchenwellenfunktion, die man eigentlich sucht. Das heißt, wir waren

gestartet von dem Ansatz, dass die Wellenfunktion der vielen Teilchen eine Produktwellenfunktion ist.

Das hatten wir dann tatsächlich auf dem Gitter gemacht, als Beispiel für das Bosse-Habert-Modell,

aber das war der Ansatz im Wesentlichen. Und wir haben dann minimiert die Energie.

Um die Energie zu minimieren, mussten wir überhaupt erstmal den Erwartungswert vom

Hamilton-Apparate ausrechnen, wenn man diese Wellenfunktion ansetzt. Das war eine kleine

Nebenaufgabe. Und wir mussten aufpassen, dass, wenn wir die Energie minimieren, dann müssen wir

fordern, dass die ein Teilchenwellenfunktion Phi, die hier drin steht, normiert bleibt.

Weil, wenn diese Zwangsbedingung nicht da wäre, könnte ich ja vielleicht einfach Phi

gleich Null setzen und dann wäre die Energie gleich Null. Also, es gab eine Nebenbedingung,

dass Phi normiert ist. Also, in unserem Fall war Phi auf dem Gitter, also Summe,

Phi J Betragsquadrat ist gleich eins. Und minimieren unter Nebenbedingungen, hatten wir uns kurz

dran erinnert, funktioniert mit Lagrange-Multiplikatoren. Das heißt, ich kann nicht einfach sagen,

diese Funktion abgeleitet nach irgendeinem Phi J soll gleich Null sein, das wäre zu einfach,

sondern diese Funktion minus ein Lagrange-Multiplikator mal die Zwangsbedingung,

davon der Gradient genommen, also davon die Ableitung nach irgendeinem Phi J genommen,

soll gleich Null sein. Und wir waren dann gestoßen auf eine Bestimmungsgleichung für das Phi,

die sehr ähnlich der normalen, zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung für ein ein Teilchen

Problem aussieht. Mit dem einen Unterschied, dass darin ein effektives Potenzial auftaucht,

was eben die Wechselwirkung beschreibt. Ich schreibe die noch mal hin. Wir hatten einen Teil,

der sieht genauso aus wie bei einer zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung, wenn ich die auf einem

Gitter formuliere, nämlich hier stand der ein Teilchen Hamilton-Operator, die ein Teilchen

Hamilton-Matrix multipliziert auf die Wellenfunktion, also Summe über alle i, h tilde, ji, Phi i.

Das soll gleich sein, Epsilon mal Phi J. Interessant ist, wie diese Energie Epsilon reinkam,

das war nämlich unser Lagrange-Multiplikator, der die Normierungsbedingung gewährleistet.

Das ist jetzt nicht alles, das wäre ja wirklich die ein Teilchen Schrödinger Gleichung, sondern

es stand noch dabei ein effektives Potenzial an dem Gitterplatz J, multipliziert mit dem Wert

der Wellenfunktion an dem Gitterplatz J. Und dieses effektive Potenzial, das bestimmte sich

nun aus der Wellenfunktion selber. Das ist das Interessante. Die Wellenfunktion gibt mir

gleichzeitig wieder die Dichte an und die Dichte sagt mir, wie groß ist das mittlere Potenzial.

In unserem Fall hatten wir gefunden, dass es gleich der Wechselwirkungsstärke multipliziert

mit N minus eins, N war die Teilchenzahl, mal Betrag für J². Dieses minus eins hatte die

Bedeutung, dass wenn ich nur ein Teilchen habe, es eben keine Wechselwirkungseffekte gibt. Aber

die typische Situation ist, dass ich sagen wir eine Million Teilchen hätte und dann kann man das

minus eins praktisch vernachlässigen. Und was dann da steht, ist die Gesamtteilchenzahl mal die

Wahrscheinlichkeitsdichte für ein Teilchen, das gerade die Teilchendichte, also Teilchen pro

Gitterplatz. Und dann kann ich also sagen, dass es die Wechselwirkungsstärke multipliziert mit der

mittleren Teilchendichte an dem Gitterplatz J. Das ist nun dieses mittlere Potenzial, von dem wir

geredet haben. Das kommt automatisch hier herein. Und wie man das nun zu lösen hat, wäre folgendermaßen,

man startet mit irgendeinem Ansatz für Phi J. Zum Beispiel könnte man das nicht wechselwirkende

Problem lösen, wo noch gar kein selbstkonsistentes Potenzial vorhanden ist. Dann findet man Phi und