Wir haben schon die Vermutung, dass die Dirac-Theorie irgendwelche Effekte des Spins auch mit berücksichtigen wird.

Und wir hatten auch gesehen, dass tatsächlich in der Dirac-Theorie, obwohl das Potential selber zentralsymmetrisch ist,

der Bahndrehenpuls gar keine Erhaltungsgröße mehr ist, sondern anstattdessen ist der Gesamtdrehenpuls

eine Erhaltungsgröße, der zusammengesetzt ist aus Bahndrehenpuls und Spin.

Und deshalb haben wir das letzte Mal angefangen zu besprechen.

Der Hamilton-Operator ist einfach der übliche Dirac-Hamilton-Operator, aber wir haben dazu addiert

die potenzielle Energie, die beschreibt die Anziehung durch den Kern.

Und diese potenzielle Energie hängt nur vom Abstand vom Kern ab.

Sie ist attraktiv, sie geht wie eins durch R.

Da oben steht dann die Elementarladung zum Quadrat.

Und um es ein bisschen interessanter noch zu machen, haben wir uns auch erlaubt,

dass die Kernladungszahl nicht unbedingt eins ist, wie sie eigentlich im Wasserstoffatom ist, sondern beliebig.

Wir hatten dann kurz argumentiert, ohne auf die Details einzugehen, dass nur der Gesamtdrehenpuls erhalten ist.

Das heißt, man muss zu einem gegebenen Bahndrehenpuls und dem Spin Eigenfunktionen konstruieren,

zu festem Wert des Gesamtdrehenpulses und zu festem Wert seiner Projektion auf die Z-Achse zum Beispiel.

Und ich hatte dann angeschrieben den Ansatz, von dem man dann später merkt, durch Einsätzen in die Dirac-Gleichung,

dass er tatsächlich dieses Problem löst, der so ähnlich aussieht wie für die Schrödinger-Gleichung.

Da weiß man beim Wasserstoffatom, der Ansatz ist irgendeine Funktion vom Abstand multipliziert mit den Kugelflächenfunktionen,

die von den beiden Winkeln abhängen, die einem dann Eigenfunktionen sind zum Bahndrehenpuls.

Und hier ist es leicht für Allgemeinheit.

Okay, also der Ansatz war gewesen, Psi von R. Die Wellenfunktion, die wir suchen, ist natürlich, wie immer,

dieser Spinor mit den vier Komponenten.

Und wie so oft gibt es einen Unterschied zu machen zwischen den beiden oberen Komponenten und den beiden unteren,

denn die beiden oberen, das sollten die Dominanten sein, das sind die, die zu positiven Energien gehören.

Die beiden unteren sind Komponenten, die eigentlich nur durch relativistische Effekte auftreten.

Später werden wir das auch noch mal explizit sehen, wenn wir die nicht relativistische Nährung an die Dirac-Gleichung herleiten.

Aber hier sei das einfach nur so gesagt.

Dann haben wir hier F von R und G von R, das wären Funktionen des Abstandes, die zu finden wären.

Und das wird jeweils multipliziert mit einem Zweier-Spinner, also einem ganz normalen Füspener-Einhalb,

der außerdem noch von Teta und Phi abhängt.

In dem Sinne, also das sollen Eigenfunktionen sein zum Gesamtdrehenpuls.

In der Notation, die ich gewählt hatte, hatten wir das Y tilde genannt, in Anlehnung an die Kugelflächenfunktion.

Hängt ab von Teta und Phi, ist aber wirklich eine zweikomponente Gewellenfunktion,

weil es ja auch noch den Spin-Freiheitsgrad beschreibt.

Gehört dann zu einem gegebenen Bahndrehenpuls, nenne ich mal L, und einem gegebenen Gesamtdrehenpuls J

und einer gegebenen Projektion MJ, dieses Gesamtdrehenpulses auf die Z-Richtung.

Und hier unten steht Ähnliches, nur eventuell mit einem anderen Bahndrehenpuls L'.

Und was sind diese Bahndrehenpulse, die da auftreten können?

Nun, wir wissen schlicht und einfach, wenn ich den Bahndrehenpuls vorgegeben habe, weil der Spin einhalb ist,

gibt es dann den Gesamtdrehenpuls entweder L plus einhalb oder L minus einhalb.

Andersrum gedacht, zu einem gegebenen Gesamtdrehenpuls J,

konnten nur die Bahndrehenpulse J minus einhalb und J plus einhalb beigetragen haben.

Und so ist es dann auch hier.

Also das eine ist J plus einhalb, das andere ist J minus einhalb.

Die Details dazu würden Sie finden in diesem Buch, zum Beispiel von Messia,

Quantenmechanik, und zwar Quantenmechanik 2, da stehen mehr Details dazu drin, die möchte ich hier auslassen.

Ich hatte das letzte Mal noch dazu gesagt, ob nun plus oder minus jeweils zutrifft,

das hängt von der Parität der Wellenfunktion ab, da hatte ich Ihnen aber glaube ich was Falsches erzählt über die Parität.

Die Parität bekomme ich nicht, indem ich die Wellenfunktion spiegele,

sondern wirklich indem ich das Koordinatensystem invertiere.