Ich hatte ja mal angekündigt, dass wir heute ein Thema machen, was so ein bisschen außerhalb

der Entwicklung des Zahlensystems liegt. Ich habe mir das noch ein bisschen genauer angeschaut und

gemerkt, dass das vielleicht doch nicht so optimal ist, weil uns da immer noch einige

Begrifflichkeiten fehlen. Ich kann natürlich der Versuchung nicht widerstehen, ein bisschen

weiter zu machen, dass wir endlich mal zu interessanterer Mathematik kommen. Insofern

machen wir jetzt einfach weiter, einfach ohne Kommentar, was immer das jetzt bedeutet. Und zwar

schauen wir uns noch ein paar Konsequenzen und Eigenschaften der natürlichen Zahlen an,

bevor wir dann zur Konstruktion der ganzen Zahlen übergehen. Wir hatten ja eingangs gesagt,

die natürlichen Zahlen, die beinhalten zwei Dinge, den Ordinalzahlbegriff, das Zählen,

1. 2. 3., aber auch den Kardinalzahlbegriff, eine Menge mit fünf Äpfeln hat eine gleiche

Eigenschaft wie eine Menge mit fünf Birnen. Und diesen Zählen, diesen Anzahlbegriff,

den wollen wir jetzt etwas mehr präzisieren und ihn insbesondere auch auf unendliche Mengen

übertragen. Wobei jetzt schon ein bisschen gleich vielleicht mal zögerlich sein sollte,

denn wir haben zwar die ganze Zeit von endlichen und unendlichen Mengen geredet und haben bestimmt

auch da Vorstellungen davon, was das ist und gewiss auch korrekte Vorstellungen. Wir haben

aber diesen Begriff bisher noch nicht definiert. Also machen wir das mal. Wir definieren endlich

und damit definieren wir auch unendlich als eine nicht-endliche Menge. Und das ist diese naheliegende

Definition. Was heißt endlich? Endlich heißt, dass wir die Elemente der Menge abzählen können,

es sei denn es gibt gar keine Elemente, das ist die leere Menge, die wollen wir auch als

endlich bezeichnen. Das heißt also als endlich wollen wir Mengen bezeichnen, die entweder,

wo die Menge entweder leer ist oder was heißt jetzt abzählen. Dafür haben wir jetzt einen

präzisen Begriff geschaffen, zum einen mit dem Abbildungsbegriff und mit dem Begriff der

Biektion. Das heißt also, was wir möchten ist, um eine Menge endlich zu nennen, jenseits

der leeren Menge, dass es eine Zahl n, eine natürliche Zahl n und gleich Null gibt und

eine biaktive Abbildung von dem Abschnitt der natürlichen Zahlen 1 bis n auf die Menge

n. Wenn wir das jetzt nun nicht sozusagen in Abbildungsschreibweise schreiben, sondern

dieses Argument 1 bis n als Index schreiben, ist das genau das Abzählen mit Indizieren.

Und Biektion heißt nun, jedes Element kommt wirklich vor in der Abzählung, das ist die

Subjektivität und die Injektivität sagt uns, dass eine Nummer nicht zweimal vergeben wird.

Okay, das heißt also, was wir hier jetzt schon sehen und was wir später noch viel stärker

sehen werden, jede mathematische Struktur hat Abbildungen, die diese Struktur überträgt

und Homomorphismen sagt man da auch allgemein dazu. Und im Sinne dieser Übertragung sind

dann diese Strukturen gleich, die sind dann nur unterschiedlich angestrichen. Und wenn

wir nun jetzt gar keine große Struktur haben, sondern einfach nur eine Menge haben, dann

ist die Biektion das, was die einzige Struktur, nämlich wie sich dann herausstellen wird,

die Anzahl übertragen wird. Okay, jetzt vielleicht ein paar kleine Eigenschaften.

Die erste Überlegung ist, jetzt werden Sie natürlich sagen, natürlich gilt das, warum

müssen wir das beweisen? Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich. Aber gut, wir haben

einen Begriff und den müssen wir verifizieren. Also machen wir das mal. Machen wir mal da

den Beweis. Das heißt also, wir haben ja nur, was heißt also unendlich? Es heißt also,

es gibt keine natürliche Zahl n, sodass es eine Biektion zwischen den Zahlen von 1 bis

n und den natürlichen Zahlen gibt. Das hört sich irgendwie selbstverständlich an. Es ist

hier vielleicht etwas einfacher, das als Widerspruchsbeweis anzugehen. Das heißt also, wir nehmen an,

dass die Menge n endlich sei und vor allem das zu einem Widerspruch führen. Also, okay.

Ich nehme also an, es gibt ein n, das kann riesig groß sein, der Gestalt und eine Biektion.

Also ich benutze das Wort Biektion jetzt äquivalent auch zur biaktiven Abbildung, hat ein paar

weniger Buchstaben und eine Biektion, die nenne ich f, von den natürlichen Zahlen auf diesen

Abschnitt 1 bis n. So, jetzt müsste ich ja eigentlich schon mal in Stocken geraten, denn

hier im Begriff steht ja was anderes. Da ist ja von einer Biektion von 1 bis n auf m die

Rede. Wieso ist das das Gleiche? Wieso ist das das Gleiche? Wieso kann ich, wenn ich