Dann hätte ich gesagt, fangen wir an. Zunächst mal, bevor es an das Inhaltliche geht, habe ich eine Frage. Gibt es hier irgendwelche eingeschriebenen Studenten?

Okay, ich habe nämlich Evaluierungsbogen für die Vorlesung da. Da bekommen Sie dann am Ende fünf Minuten zur Bearbeitung dieses Bogens.

Ist das Mikro überhaupt an? Ja.

Okay, ja, fangen wir mit einem kleinen Recap an. Was ist letzte Woche passiert? Letzte Woche haben wir uns motivierend angeschaut, wie kann man allgemein Differenzen zweier natürlicher Zahlen bilden.

Vorher war das ja nur für gewisse natürliche Zahlen gegeben. Allerdings wollten wir das jetzt allgemein lösen. Und dazu haben wir uns die Konstruktion der ganzen Zahlen angeschaut.

Das war als Tupel von zwei natürlichen Zahlen, was eben im UKERSchluss immer bedeutet. Wir haben die ganzen Zahlen als Differenzen von zwei natürlichen Zahlen betrachtet.

Ja, was haben wir da gezeigt? Wir haben eben die Eigenschaften gezeigt, mit denen man in der Schule schon rechnet. Wir haben die Addition definiert. Wir haben die Multiplikation definiert.

Wir konnten zeigen, dass es alles wohl definiert in Bezug auf diese Äquivalenzklassen, die es gibt, weil wir eben verschiedene Differenzen mit gleichen oder verschiedene Tupeln der gleichen Differenz zuordnen konnten.

Weiterhin haben wir gezeigt, für die natürlichen Zahlen geben die das gleiche Ergebnis. Wir können die natürlichen Zahlen auch einbetten.

Und unser letztes Ergebnis war, dass die ganzen Zahlen einen Ring ergeben mit Addition und Multiplikation, was im Wesentlichen nichts anderes als die rigorose Verifikation ist, dass man die üblichen Rechenregeln benutzen kann, die es so gibt.

Okay, im nächsten Schritt gilt es jetzt, eine weitere Operation auf die natürlichen Zahlen, auf die ganzen Zahlen zu erweitern, nämlich die Ordnungsrelation, das Kleiner Gleich.

Dazu nehmen wir die Ordnung auf die natürlichen Zahlen wieder her, so wie wir es auch für Addition und Multiplikation gemacht haben, und müssen uns erstmal überlegen, wie definieren wir Multiplikation von Differenzen.

Dazu schauen wir uns wieder an, wie es aussieht, wenn wir M minus N haben und das Kleiner Gleich M Strich minus N Strich sein soll, ziehen wir das N und das N Strich jeweils auf die andere Seite, steht das Ganze mit Additionen statt, das sind alles natürliche Zahlen.

Das ist schon bekannt, was das geben soll. Und dementsprechend machen wir nichts anderes, als diese Schreibweise hier als Definition der Ordnung auf den ganzen Zahlen zu definieren.

Und zwar sagen wir, zwei solche Äquivalenzklassen mit Repräsentanten Mn und M Strich N Strich sind genau dann Kleiner Gleich, wenn wir diese Beziehungen haben, M plus N Strich Kleiner Gleich M Strich plus N.

Ja, wir können das also rechnen, wir können uns das anschauen, die Frage ist wieder, ist diese Ordnung wohl definiert? Wenn wir hier links und oder rechts die Repräsentanten tauschen, wobei wir in der gleichen Äquivalenzklasse bleiben, haben wir dann trotzdem die gleiche Ordnungsbeziehung oder kann sich da was ändern?

Wenn wir uns das anschauen, was heißt es, diese Kleiner Gleich Beziehung von Äquivalenzklassen? Das heißt, in den natürlichen Zahlen nichts anderes gesprochen, als dass es eine nicht negative Zahl, eben eine natürliche Zahl D gibt, sodass wir die linke Seite plus D nehmen können und dann mit Gleichheit auf die rechte Seite kommen.

Dass wir also diesen Abstand, den es zwischen linker und rechter Seite gibt, durch eine natürliche Zahl auffüllen können. Ja, jetzt können wir hier diese Gleichheit wieder nehmen, das können wir wieder dazu nehmen, um Relation von zwei Tupeln zu ä definieren.

Und dann sehen wir, das hier heißt nichts anderes, als dass dieses Tupel M plus D, N mit diesem Tupel M Strich, N Strich in Relation steht und damit, dass die beiden in der gleichen Äquivalenzklasse liegen.

Ja, es gibt ein D, wird weitergezogen und dann im nächsten Schritt, auch wieder mit Äquivalenzen versehen, können wir jetzt mit der komponentenweise definierten Addition der ganzen Zahlen dieses D nach außen werfen. Dann hätten wir das Tupel D Komma Null.

Das können wir aber, wie letzte Woche gesehen, mit den natürlichen Zahlen identifizieren. Das heißt, wir schreiben hier einfach Salopp plus D hin und sehen dann eben dieses linke Element plus eine natürliche Zahl ist gleich dem rechten Element.

Wir können also genauso wie für die natürlichen Zahlen, auch für die ganzen Zahlen, das Kleiner Gleich durch ein Plus und ein Ist Gleich ausdrücken.

Wir sehen also, wir haben diese Eigenschaft 3, Aussatz 2, 7 übertragen, was nichts anderes heißt, als das Kleiner Gleich Äquivalent ist mit der Existenz so einer Zahl D.

Und gleichzeitig haben wir auch die Wohldefinition von Kleiner Gleich sichergestellt, denn wir haben die Wohldefinition von Plus. Es ist egal, welche Repräsentanten wir hier einsetzen in dieser Schreibweise und deswegen ist es auch egal, welche Repräsentanten wir hier wählen.

Okay, so viel zur Einleitung der Ordnungsrelation. Dazu gleich mal ein Satz. Was für Auswirkungen hat das auf die ganzen Zahlen?

Naja, das erste, was wir haben, ist erstmal, es ist wirklich eine Ordnungsrelation definiert, so wie man es hat mit Reflexivität, Kransitivität und Antisemitrie, diese drei definierenden Eigenschaften.

Weiterhin können wir im ersten Punkt sagen, z ist mit dieser Ordnungsrelation total geordnet. Das heißt, nehmen wir zwei ganze Zahlen, dann können wir sagen, entweder ist, das R ist die eine oder wenn nehmen wir zwei Zahlen z und z Strich, dann ist entweder z Kleiner Gleich z Strich oder z Strich Kleiner Gleich z.

Wir können also hier mit beliebigen ganzen Zahlen das machen. Weiterhin haben wir Verträglichkeit mit der Addition wie den natürlichen Zahlen, wenn wir z Strich Kleiner Gleich z Zwei Strich haben und wir addieren auf beiden Seiten ein z dazu, dann ändert das nichts daran, dann haben wir immer noch diese Kleiner Gleich Beziehung.

Und zwar, für beliebige z, z Strich und z Zwei Strich aus den ganzen Zahlen. Weiterhin, was auch schon eigentlich aus dem Grundwissen bekannt ist, z größer Gleich Null, das heißt nichts anderes, als das z als eine natürliche Zahl oder die Null zu verstehen ist.

Und weiterhin z größer Null, das heißt, wenn wir den Fall z Gleich Null explizit ausschließen, dann können wir auch das Äquivalent dazu setzen, dass z eine echte natürliche Zahl, also ungleich Null ist.

Und der letzte Punkt, Viertens, der sagt auch wieder für drei Zahlen z, z Strich und z Zwei Strich nichts anderes, als das, wenn ich eine positive Zahl hier nehme, z größer Null und ich habe eine Ordnung und ich multipliziere auf beiden Seiten das z dran, dann ändert sich nichts an der Ordnungsrelation.

Haben wir aber eine negative Zahl, z kleiner Null, dann dreht sich das Ordnungszeichen um. Aus dem Kleiner Gleich wird ein größer Gleich. Genau, gibt es da noch was? Nein. Schauen wir uns den Beweis an.

Okay, also zunächst mal brauchen wir, es ist eine Ordnungsrelation, allerdings folgt das sofort wie in den natürlichen Zahlen.

Beweis 4.13.

Okay, also Ordnung und die Verträglichkeit mit der Addition folgt nach Gleichung 4.16, die stand auf der Folie vorher.

Das war eben diese definierende Beziehung mit dem Plus und dem Ist Gleich. Wenn wir das ausnutzen, sehen wir das.

Das folgt mit gleichem Beweis wie in dem Satz für die natürlichen Zahlen und das war Satz 2.7, wenn ich jetzt hier die Nummerierung richtig habe.

Genau, also haben wir schon mal die Ordnung, es sofort und auch Punkt 2, die Verträglichkeit mit der Addition.

Schauen wir uns jetzt an.

Wir wollen jetzt die totale Ordnung zeigen und dazu nehmen wir uns zwei ganze Zahlen z' und z' her und wir sehen, es folgt z' kleiner Gleich z'

und das ist genau dann der Fall, wenn z' minus z' größer gleich 0 ist.

Wir haben ja in den ganzen Zahlen alle additiv inversen Elemente, können deswegen das e hier dran addieren, wir können Punkt 2 ausnutzen

und sehen dann, dass wir auf der einen Seite z' minus z' haben und auf der anderen Seite die Null.

Das heißt, es reicht für die Totalordnung, wenn wir jetzt für eine beliebige ganze Zahl zeigen können, entweder ist sie größer gleich 0 oder es ist kleiner gleich 0.

Denn, wenn wir dann zwei beliebige Zahlen hinnehmen, eben wieder z' und z' dann können wir das immer so umformen, dass wir 0 auf einer Seite haben

und dann muss man eben schauen, welche Zahlen man hier explizit genommen hat.

Allerdings, wenn wir eben zeigen können, für eine beliebige ganze Zahl haben wir immer eine der beiden Relationen, folgt damit die totale Ordnung.

Oder für dieses z schreiben wir auch mal hin, das ist die Äquivalenzklasse des Tupels MN.

Dafür soll gelten z' größer gleich 0 oder z' kleiner gleich 0.

Wir hatten aber letzte Woche auch schon mal eine Unterteilung, wir haben uns mal eine Partition der ganzen Zahlen in die natürlichen Zahlen, in die Null und in die Additivinversen angeschaut.