Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, guten Abend meine Damen und Herren, ich begrüße Sie auch ganz herzlich zu dem zweiten

Teil von unserer Präsentation. Darin geht es in erster Linie darum ein bisschen zu veranschaulichen,

wie die Mathematik in diesen physikalischen Modellbildungsprozess eingreift bzw. was sie

dazu beitragen kann, gegebenenfalls eine konsistente Theorie der Quantengravitation zu entwickeln.

Im Großen und Ganzen werde ich dabei relativ an der Oberfläche bleiben, aus zeitlichen Gründen.

Ich möchte Ihnen einen Eindruck vermitteln davon, wie der Symmetriebegriff zunächst

mal mathematisch spezifisiert wird, wie Geometrie und Gruppentheorie seinerzeit in Erlangen sozusagen

zusammengefügt wurde im Rahmen des Erlanger Programms. Dann auf der nächsten Ebene etwas

feiner hineingehen in die Struktur kontinuierlicher Symmetrien, kontinuierlicher Gruppen und von da

aus dann zur Physik übergehen, indem das Ganze zu Erhaltungsgrößen in Bezug gesetzt wird. Und dann

am Ende möchte ich auch kurz darauf hindeuten, welche Projekte in der Mathematik im Rahmen von

unserem Projekt dann auftreten. Zunächst mal zum Symmetriebegriff. Die Schwierigkeit des

Symmetriebegriffs ist die, dass die Mathematik mit sehr präzisen Objekten umgehen möchte, aber

andererseits jeder im Grunde eine gewisse Vorstellung davon hat, was Symmetrien sind,

was symmetrischt bedeutet und da möchte ich Sie zunächst über diese Brücke führen. Die

einfachste Art von Symmetrie ist eine Spiegelungssymmetrie, das sehen Sie hier in diesem Bild. Das kann man

ein bisschen verfeinern, indem man symmetrische Objekte anschaut, zum Beispiel zu einem Quadrat.

Das hat viele Spiegelungssymmetrien. Jede Achse, die die Seiten halbiert oder die Eckpunkte

miteinander verbindet, bewirkt so eine Symmetrie und von da aus weiter kann man anschauen, welche

Symmetrien hat ein Quadrat noch. Ein Quadrat kann man auch rotieren. Das ist etwas anders als eine

Spiegelungssymmetrie und wenn man dann mal nachzählt, wie viele Möglichkeiten es gibt,

ein Quadrat zu drehen, dann stellt man fest, das sind vier, denn sie können um 90 Grad drehen,

180 Grad, 270 Grad und dann aber auch um 360 Grad und das ist dann genauso gut wie nichts tun,

sollte man aber auch zählen als Symmetrie. Das heißt also insgesamt hätte ein Quadrat 8

Symmetrien, 8 Spiegelungen, 8 Drehungen. Wenn man dann feiner in Symmetrien hineinschaut,

stellt man fest, es ist nicht nur das Quadrat, was sich bezüglich seiner Symmetrien so verhält,

wie das Quadrat, sondern es gibt viele andere Figuren, die genau die gleichen Symmetrien haben.

Das sehen Sie hier in diesem Bild, zum Beispiel hier diese Herdplatte sozusagen, hat die gleichen

Symmetrien wie das Quadrat oder dieses Rosettenfenster verhält sich genauso, was die Symmetrien angeht,

wie ein Quadrat. Entsprechend kann man andere Figuren anschauen, die ähnlich sind, wo sozusagen

gewisse Symmetrien gestört oder gebrochen sind, das sehen Sie hier. Diese Figur hat nur die

Drehsymmetrien, die hat keine Spiegelungssymmetrien mehr, das heißt also sie verhält sich etwas

anders als das Quadrat, hat aber vier Symmetrien in die Drehungen. Dann diese andere Figur hier,

die hat auch genau vier Symmetrien, wenn man mal etwas genauer hinschaut, aber das sind alles

Spiegelungssymmetrien, das heißt also, obwohl sie auch vier Symmetrien hat, ist sie von einem

anderen Symmetrietyp, wie hier dieses Windrad sozusagen und das ist etwas, was man dann

mathematisch spezifizieren möchte und das tut man, indem man sich ein bisschen überlegt, welche

Eigenschaften haben denn Symmetrieoperation oder was ist überhaupt eine Symmetrieoperation.

Dabei stellt man sich eben Symmetrieoperationen, gehen gerade nochmal zurück in den Bildern so vor,

wie Bewegungen der Ebene, die die Figuren wieder in sich überführen, also Drehungen,

Spiegelungen und so weiter und wenn man sich in diesem Sinn Geometrien als Transformationen

vorstellt, kann man sich überlegen, welche Eigenschaften haben denn diese Symmetrien eines

Objekts. Da sieht man zunächst mal, dass man zwei Symmetrien immer hintereinander ausführen kann,

komponieren, also Drehungen mit Spiegelungen, Drehungen mit Drehungen und so weiter. Dann gibt

das wie beim Quadrat die 360 Grad Drehung, das ist sozusagen die Symmetrie, die nichts tut, die gibt

es sicher immer und dann eine dritte Eigenschaft ist die, dass sich Symmetrien immer umkehren lassen.

Das sieht man bei konkreten Symmetrien sofort, insbesondere dann, wenn sie endlich Ordnung

haben, das heißt, wenn sie nach endlich oft anwenden, wieder zurückführen und wenn man nun

diese drei Eigenschaften abstrahiert, dann wird man in der Mathematik auf den sogenannten Gruppenbegriff