Guten Morgen allerseits, wir hatten uns das letzte Mal das Fermigas angeschaut und wir

hatten die wichtigsten Eigenschaften davon kennengelernt. Speziell wissen wir, wie die

Besetzung der Niveaus aussieht, abhängig von der Temperatur und vom chemischen Potential.

Und wir hatten uns dann auch angeschaut, wie zum Beispiel die Energie anwächst oder wie der

Druck anwächst. Ich will das nur noch mal kurz hinschreiben. Die Fermiverteilungsfunktion, das

ist die eine Formel, die man sich wirklich merken muss in dem Zusammenhang. Die Besetzung eines

Einteilchenniveaus bei der Energie epsilon, gegeben die Temperatur und das chemische Potenzial.

Und wir hatten dann daraus hergeleitet, unter anderem, wie die Energie anwächst bei tiefen

Temperaturen. Die Energie wächst quadratisch an und das bedeutet speziell, dass die Wärmekapazität

selber dann linear in der Temperatur anwächst bei tiefen Temperaturen. Und das ist ganz charakteristisch

zum Beispiel für ein Metall, für die Wärmekapazität der Elektronen bei tiefen Temperaturen. Und weil

die Wärmekapazität der Phononen, der Gitterschwingungen schneller abklingt bei tiefen

Temperaturen, deswegen ist das das Dominante. Wir hatten uns dann auch angeschaut, was macht der

Druck eines solchen Fermigases und wir hatten gefunden, der Druck geht dann hoch wie n hoch

fünf Drittel mit der Dichte. Das heißt, selbst bei Temperatur gleich Null hat man einen sogenannten

Entartungsdruck und der ist wichtig, um dann zum Beispiel einen weißen Zwergstern oder einen

Neutronenstern gegen die Gravitationskraft zu stabilisieren. Ganz am Ende hatte ich das

letzte Mal noch die Fluktuationen betrachtet in dem Fermigas und eine Größe, die zusammenhängt

mit den Fluktuationen natürlich ist die Entropie. Das heißt, wir schauen uns jetzt noch mal schnell

an, wie sieht die Entropie eines Fermigases aus. Und da ist die Idee wieder dieselbe wie bei den

Fluktuationen. Wir schauen uns an, die Entropie für jedes ein Teilchen Niveau separat und dann

brauchen wir nur noch aufaddieren. Also wie würde die Entropie aussehen für das ein Teilchen Niveau

mit dem Index L. Nun wir wissen inzwischen, wie wir die Entropie berechnen, wenn wir die

Wahrscheinlichkeiten kennen. Das ist sozusagen minus k Boltzmann p log p über die einzelnen

Möglichkeiten summiert. Und die Möglichkeiten hier für dieses Niveau sind wiederum nur entweder

es ist unbesetzt oder es ist besetzt. Also nL, die Besetzungszahl ist entweder 0 oder 1 und die

Wahrscheinlichkeiten dafür kennen wir im Prinzip schon. Und wir wissen auch die Wahrscheinlichkeit

dafür, dass es besetzt ist, ist gerade gleich dieser mittleren Besetzungszahl F der Fermifunktion und

dann die Wahrscheinlichkeit, dass es unbesetzt ist, muss offenbar 1 minus F sein. Das heißt,

was hier steht ist nichts anderes als minus k Boltzmann Fermifunktion Logarithmus Fermifunktion

plus 1 minus F Logarithmus 1 minus F. Das ist also die Entropie, die beschreibt die

Fluktuation auf einem einzelnen solchen Niveau und dann kann man das jetzt einfach über alle

Niveaus summieren. Und wenn wir das summieren, dann können wir es auch gleich genauso gut mit

Hilfe der Zustandsdichte schreiben. Das heißt, da steht dann minus k Boltzmann integral über

alle Energien gewichtet mit der Zustandsdichte, damit ich die Anzahl der Zustände abzähle und

dann eben dieser Ausdruck ausgedrückt durch F von Epsilon. Also das F hier ist F von Epsilon. Und

jetzt kann man sich fragen, na gut, welche Energien geben die größten Beiträge zur Entropie und rein

physikalisch erwarten wir natürlich genau wie vorher die ganze Zeit auch, dass nahe der Fermikante

das Wichtigste passiert. Denn da fluktuieren ja die Besetzungszahlen, da gibt es überhaupt

statistische Fluktuationen, da gibt es Entropie. Weit unterhalb ist alles besetzt, die Entropie ist

Null sozusagen, weit oberhalb ist alles unbesetzt, die Entropie ist auch Null. Das können wir uns

gleich noch mal anschauen. Wir müssen einfach nur diesen Ausdruck hier uns darstellen als Funktion

von F. Also was ist dieser Ausdruck, der da steht, oder genau die Entropie dividiert durch k Boltzmann

für ein einzelnes Niveau als Funktion dieser Besetzungszahl. Und was wir dann finden ist,

wenn F gleich Null oder Eins ist in diesem Ausdruck, ist die Entropie Null. Nur wenn die

Besetzungsfunktion irgendwo in der Mitte dazwischen liegt, ist die Entropie endlich. Man kann sich

auch ausrechnen, was ist der größte Wert, der wird angenommen, wenn F gerade ein Halb ist. Wenn

sozusagen gerade unklar ist, ob es besetzt oder unbesetzt ist. Wenn ich einsetze, finde ich, dass

die Entropie dann gerade Logarithmus 2 ist. Und wir wissen, wir hatten es schon kennengelernt für

das Zweiniveausystem. Logarithmus 2 bedeutet eben gerade, dass man so 50-50 besetzt oder unbesetzt