Hallo, guten Morgen. Wir schauen uns gerade an, wie man Gase behandelt in der statistischen Physik,

und zwar tatsächlich mit Hilfe der Methoden der Quantenmechanik.

Wir haben gesehen, es gibt Fermionen und Bosonen, und wir behandeln gerade das Fermigas.

Die einfache Idee dabei ist, dass man sich zuerst das Einteilchen-Spektrum, also die Einteilchen-Energieniveaus, beschafft,

und dass man dann einzelne Teilchen in diese Niveaus einfüllt, und beim Fermigas ist es eben so,

dass maximal ein Teilchen pro Niveau gesetzt sein darf.

Wenn das hier also die Einteilchen-Niveaus sind,

dann wäre eine typische Konfiguration, die sich einstellen kann,

dass die untersten Zustände tatsächlich alle besetzt sind, denn das vermindert die Energie,

und bei Temperatur gleich Null würde dann irgendwo die Fermi-Energie liegen,

bei der die Besetzten an die unbesetzten Zustände grenzen.

Bei endlicher Temperatur werden manche der Teilchen ein bisschen angeregt sein,

zum Beispiel fehlt hier dann ein Teilchen, und dafür ist dort eines.

Und diese Konfigurationen fluktuieren, aber immer in so einer Weise,

dass die untersten Zustände die ganze Zeit besetzt bleiben,

die obersten Zustände bleiben die ganze Zeit unbesetzt,

und nur hier an der Fermikante, an der sogenannten Fermikante,

fluktuiert die Besetzungszahl.

Und wir hatten uns dann gefragt, was ist denn die mittlere Besetzungszahl eines solchen Niveaus?

Sagen wir, das ist Niveau Nummer L.

Was ist die mittlere Besetzungszahl dieses Niveaus?

Und wir hatten herausgefunden, das ist gerade gegeben,

durch die Fermiverteilung ausgewertet an der ein Teilchen Energie dieses Niveaus.

Und die Fermiverteilung selber, die hängt ab vom chemischen Potential und von der Temperatur.

Und wir hatten die Formel angegeben,

das war dann gewesen 1 dividiert durch e hoch beta epsilon minus mu plus 1.

Das ist die Fermiverteilung, und wenn man die sich aufträgt gegen die Energie,

hat die eine sehr einfache Gestalt.

Offenbar ist das chemische Potential mu wichtig,

wenn die Energie sehr viel größer ist als mu,

dann wird die Exponentialfunktion explodieren und insgesamt bekomme ich 0.

Wenn die Energie sehr viel kleiner ist, wird die Exponentialfunktion zu 0 werden,

und insgesamt bekomme ich dann 1.

Und so interpoliere ich zwischen denen, wenn epsilon gleich mu ist, werde ich gerade ein Halb bekommen.

Und die Breite dieses Übergangsbereichs ist gerade bestimmt durch den Wert von Beta,

oder in anderen Worten durch den Wert der thermischen Energie.

Und die Regel ist nun die, dass man zunächst mal sich für jede Temperatur das chemische Potential beschafft,

indem man weiß, welche Teilchenzahl habe ich und fordert, dass diese Gesamteilchenzahl vorliegt.

Und daraus würde man dann das chemische Potential bekommen,

und sobald man das chemische Potential hat, kann man sich andere Sachen ausrechnen,

zum Beispiel was ist die Energie.

Und das war das, wo wir das letzte Mal aufgehört haben,

nämlich mit der einfachen allgemeinen Frage, wie hängt die Energie von der Temperatur ab für solch ein Fermisystem.

Natürlich wird die Energie anwachsen mit der Temperatur,

auch bei Temperatur 0 ist die Energie nicht gleich 0,

sondern es wäre einfach die Summe der Einteilchenenergien von all den besetzten Energieniveaus.

Die Frage ist jetzt, wenn ich die Temperatur erhöhe, wie stark wächst dann die Energie an?

Und ich will das illustrieren an einem Beispiel, wo die Zustandsdüchte dieser Einteilchenenergieniveaus konstant ist.

Und die Idee dahinter ist, selbst wenn die nicht wirklich konstant ist als Funktion der Energie,

wir wissen ja, dass es zumindest für niedrige Temperaturen sich nur in der unmittelbaren Umgebung der Fermienergie hier etwas tut.