Hallo und guten Morgen. Mein Name ist Stefan Kessler. Ich bin normalerweise Tutor für die

Statistische Physik und werde heute aber Professor Marquardt vertreten. Er wird dann aber am nächsten

Donnerstag wieder selber eine Vorlesung hier halten. Okay, was wir in der letzten Vorlesung gemacht

haben ist, dass wir uns Phasenübergänge angeguckt haben und dabei haben wir sozusagen als Parademodell

das Easing-Modell gewählt. Und um diese Phasenübergänge zu beschreiben, haben sie dann zwei Methoden

kennengelernt. Einmal eine numerische Methode, das war die Monte-Carlo-Information und das andere war

eine Nährung, die Mean-Field-Nährung. Und was wir heute machen wollen, ist, dass wir mit der exakten

Lösung des eindimensionalen Easing-Modells fortfahren wollen und dann am Ende, wenn wir diese

Lösung gefunden haben, dann die Resultate für die Susceptivität, für die Korrelationslänge und die

mittlere Magnetisierung mit unseren Erwartungen aus der Mean-Field-Theory zu vergleichen und zu

sehen, okay, stimmen die Erwartungen überein oder nicht. Und dazu möchte ich kurz wiederholen, was

Sie in der letzten Vorlesung schon zu der exakten Lösung gemacht haben und dann mit der Lösung fortfahren.

Okay, was war das Modell, was Sie uns angeschaut haben? Das Modell war eine eindimensionale Spin-Kette,

mit N Spins, also wir hatten hier Position 1 bis N, wo wir jeweils Spins hatten und diese Spins

hatten zwei Ausrichtungsmöglichkeiten, entweder nach oben oder nach unten und wie immer haben wir

periodische Randbedingungen gefordert und bei diesem Modell bedeuten periodische Randbedingungen,

dass sozusagen unsere Spin-Kette die Geometrie eines Rings hatte. Natürlich sozusagen hier das

N plus 1 Spin ist identisch zum ersten Spin. Und dann hatten wir das System so betrachtet, dass wir

ferromagnetische Wechselwirkungen hatten, das heißt, dass benachbarte Spins eine Tendenz dazu

haben parallel zu zeigen und zusätzlich hatten wir gefordert, dass es nur eine Wechselwirkung

zwischen benachbarten Spins gibt. Das heißt, die Energie unseres Systems war dann gegeben durch

minus 2 mal j, mal der Summe von L gleich 1 bis N über Spin-Pare Sigma L, Sigma L plus 1.

Okay, jetzt war unser Ziel dieses System exakt zu lösen und das bedeutet, wir müssen die

Zustandssumme berechnen. Und okay, die Zustandssumme, das hatten wir in der Vorlesung schon häufig,

das ist halt die Summe über alle möglichen Zustände gewichtet mit ihrem Boltzmanngewicht.

Hier sind natürlich alle möglichen Zustände dadurch charakterisiert, dass jeder Spin entweder

nach oben oder unten zeigen kann. Also hier habe ich Sigma 1 kann gleich plus minus 1 sein und Sigma

N kann auch gleich plus minus 1 sein. Und dann hatten sie sich hier das Boltzmanngewicht

hingeschrieben, also e hoch minus Beta e. Und in einem nächsten Schritt hatten sie dann, da im

Exponenten eine Summe steht, die Faktoren, also die Exponentialfunktion als Produkt von

Exponentialfunktionen geschrieben. Und dieses K war gerade 2 mal Beta mal j.

Okay, und dann kam der eigentlich wichtigste Schritt bei der Transfermatrix Methode, die wir

benutzen wollen, um das eindimensionale Easing-Modell zu lösen. Es war einfach, dass wir erkannt haben,

dass diese Faktoren hängen von zwei Spins ab, zwei benachbarten Spins und diese Spins können jeweils

zwei Werte annehmen, plus und minus eins. Was wir dann gesehen haben ist, okay, wir können diesen

Term hier als eine Zweikreuz-Zwei-Matrix darstellen. Und jetzt schalte ich kurz hin, wie die Matrix aussah.

Okay, und dann kam der eigentlich wichtigste Schritt bei der Transfermatrix Methode, die

Faktoren, also die Exponentialfunktionen, die wir benutzen wollen, also die Exponentialfunktionen,

also wir hatten diese Matrix eingeführt, wobei die Zeilen sozusagen zum ersten Spin gehört haben und

die Spalten zum zweiten Spin. Und jetzt konnte man einfach die Matrix hier einsetzen und hat gesehen,

dass die Zustandssumme nichts anderes ist als die Spur über diese Matrix hoch n. Das heißt,

Sie haben dann gefunden, dass die Zustandssumme die Spur von a hoch n ist. Und das sozusagen dann als

Schluss der letzten Vorlesung haben wir dann festgestellt, dass die Spur einer Matrix ist

unabhängig von der Basis, in der ich diese Matrix darstelle. Und das bedeutet natürlich, dass wenn

ich in die Diagonalbasis dieser Matrix a gehe, dass die Spur von a hoch n gerade gleich Lambda plus

hoch n plus Lambda minus hoch n ist, wobei sozusagen Lambda plus und Lambda minus gerade

a ist gleich Lambda plus, Lambda minus sozusagen die Diagonalwerte der Matrix a im Diagonal gestaltet sind.

Okay, das heißt, was wir jetzt noch machen müssen, ist einfach, wir müssen die Eigenwerte

der Matrix a finden. Genau. Und sobald wir diese Eigenwerte gefunden haben, ist das Problem gelöst,

dann sind wir fertig. Und wie berechnet man jetzt die Eigenwerte einer Matrix? Das haben Sie schon