So, das letzte, was wir gemacht haben, wir hatten gesehen, wenn wir eine Potenzreihe haben,

dann können wir auch diese Potenzreihe sozusagen für das Argument einer quadratischen Matrix

definieren.

Es kommt dann wieder eine quadratische Matrix raus und die Konvergenz der Reihe ist dann

ganz normal, als Konvergenz der Partialsummenfolge zu verstehen, in irgendeiner Norm auf dem

Raum der Matrizen, weil wir wissen, dort sind alle Normen äquivalent.

Da können wir uns also aussuchen, was wir wollen.

Wir könnten zum Beispiel so eine Art Maximumsnorm über alle Einträge nehmen, das heißt also

letztendlich, dass es reicht, dass diese Matrizenfolge der Partialsummen auch komponentenweise

konvergiert, nur wir müssen wirklich diese Partialsummenfolge aufstellen.

Potenzreihenbildung heißt nicht, dass man das einzelne Element der Matrix nimmt, den

einzelnen Eintrag, davon die Potenzreihe nimmt und das in die ij-Position schreibt.

Jetzt bekommen wir also Matrizenfunktionen über alle Potenzreihen, die wir aus der

Analysis kennen und es gelten insbesondere auch die Rechenregeln, die wir aus der Analysis

kennen.

Das letzte, was ich erwähnt habe, ohne es jetzt zu beweisen, ist die Frage, wie multipliziert

man zwei Potenzreihen?

Man kann zwei Potenzreihen multiplizieren innerhalb des gemeinsamen Konvergenzradius

und was dann herauskommt, ist wiederum eine Reihe, ob es eine Potenzreihe ist, muss man

dann sehen, ist wiederum eine Reihe und das Ende Folgenglied, was dieser Reihe zugrunde

liegt, wird über das Cauchy-Produkt gebildet.

Das heißt, man nimmt die beiden Folgen, die den beiden Ausgangsreihen zugrunde liegen,

das ist also a n z n bzw. jetzt eben die Matrix eingesetzt, klein a n, groß a, groß a hoch

n und entsprechend für die zweite b n, b hoch n und bildet das Cauchy-Produkt, das

heißt, man bildet bis zum Index n all die Summen, wo sich die Indizes gerade auf n aufaddieren,

die man bekommen würde, wenn man mal das unendlich ignoriert und einfach anfängt

auszumultiplizieren und dann zu sortieren.

Das ist das sogenannte Cauchy-Produkt, das sollten Sie aus der Analysis kennen und diese

Reihe, das ist die Aussage, die eben jetzt hier auch für Matrizenargumente und matrizenwertige

Potenzreihen gilt, diese Aussage gilt genauso hier, wie sie im reellen oder im komplexen

gilt.

Die werden wir jetzt gleich nutzen, um sozusagen die wichtigste aller Potenzreihen zu untersuchen

und das ist natürlich die E-Reihe.

Das heißt also, wir können jetzt und zwar können wir das für jede Matrix machen, denn

die Reihe der E-Funktion hat ja Konvergenzradius unendlich, das heißt, wir können jede Matrix

nehmen, der Spektralradius jeder Matrix ist kleiner als unendlich, wir können eine beliebige

M-Matrix hernehmen und wissen, diese Reihe hier konvergiert im Matrizenssinn.

Ja, was erwarten wir, wenn wir zum Beispiel die Nullmatrix einsetzen, dann sehen wir,

dass alle Potenzen null sind bis auf die nullte Potenz, das heißt, alle Glieder der Partialsummenfolge

wären konstant zur Folge Identität, dann konvergiert diese Reihe natürlich gegen

die Identität, so wie wir das vielleicht auch erwarten würden.

Was wir auch erwarten, was ja sozusagen die wichtigste Eigenschaft der E-Funktion ist,

ist das Additionstheorien, das heißt, wir erwarten, dass die E-Funktion angewendet auf

die Summe von zwei Matrizen das Produkt der beiden Matrizen ist.

Jetzt muss man hier ein bisschen vorsichtig sein, wir sind hier im Matrizenraum und nicht

im Zahlenraum, im Zahlenraum haben wir immer Kommutativität der Multiplikation, das haben

wir hier nicht.

Und tatsächlich ist diese Aussage hier auch im Allgemeinen falsch.

Sie ist dann richtig, wenn diese beiden individuellen Matrizen um die es hier geht, kommutieren,

wenn also A B gleich B A ist.