So, jetzt ist Punkt 2 Uhr und wir fangen jetzt an. Diese Woche haben Sie sicherlich schon mitgekriegt,

wird evaluiert und wenn Sie möchten, ich bitte Sie darum auch hier für mich,

geben Sie mir einen Gefallen und geben da einfach so ein paar weiter. Ich glaube, so viele brauchen

wir gar nicht. Das wäre nett. Also, damit machen wir morgen. Habe ich denn auch noch für die Leute,

die heute nicht da sind und morgen da sind. Ansonsten, die an beiden Tagen da sind,

es ist egal, an welchem Tag sie das machen. Ja, also wir waren, wir sind mitten in dem

Abschnitt mit dem euklidischen Algorithmus. Den schreibe ich gleich hin. Ein Schritt im Beweis

gebraucht natürlich das, was wir vorher gemacht haben, teilen mit Rest und dann die eine Folgerung

daraus. Die schreibe ich erst noch hin, dann kann ich das besser gleich nochmal alles erklären.

Also, das war einmal, worauf ich zurückgreife. Der Satz 4, 6 aus dem Skript, seien A und B

natürliche Zahlen und ja, wir wenden auf A und B dieses Teilen mit Rest an. Also, A ist ein

Vielfaches von B plus ein Rest R. Da sind Q und R immer natürliche Zahlen und die Zahl R liegt

zwischen 0 und B, ist kleiner B und dann gilt, hatten, also das ist bis hier sozusagen teilen

mit Rest. Dann haben wir daraus geschlossen, dass damit auch für die Teilermengen gilt,

die Teilermenge von A geschnitten, Teilermenge von B ist die Teilermenge von B geschnitten,

Teilermenge von dem Rest. Man kann also hier das zu kleineren Zahlen reduzieren. Wir hatten auch

gefolgert, was das für den GGT bedeutet und das hatten wir hingeschrieben, aber jetzt,

dass man wirklich genau den GGT berechnet, das ist sozusagen eine Anwendung des euklidischen

Algorithmus, den ich jetzt hinschreibe und der ist ja schön lang, haben Sie gesehen, den muss man

langsam hinschreiben und dabei erklären und dann wird es noch mal im Satz klar. Also,

da, das mache ich jetzt, Satz 4.8, euklidischer Algorithmus. Okay, auch wie hier sind, wir starten

wieder mit zwei natürlichen Zahlen, seien A und B natürliche Zahlen und A größer B,

das steckt in dem Eindruck eigentlich auch immer drin, stand da bis hier noch nicht. Und jetzt

machen wir diese induktiv schrittweise immer weiter dieses Teilen mit Rest, was da auch drin

ansteckte und landen sozusagen beim GGT. Also induktiv werde diese Division mit Rest durchgefüllt.

Ich glaube, den ersten Teil kriege ich hier noch so hin. Wenn man so einen Algorithmus hat und was

induktiv hat, ist besonders wichtig, dass man irgendwie das vernünftig nummeriert und die

Indizes ordentlich hat, das sind die, an die man sich dann orientiert. Also, ich habe das folgendermaßen

gemacht, also ich mache das auch nicht immer so, wie es in irgendwelchen Büchern steht,

manchmal finde ich das besser, wenn ich das anders mache, sodass dann irgendwie die Indizes schön

sind. Also, der erste Schritt ist immer das, was man schon hat. Wo haben wir sie? Ja, wir teilen A

durch B mit Rest. Wir haben also A ist gleich ein Q, da kommt gleich eine 1 dran, mal B plus ein Rest,

das kennen wir. Da das der erste Schritt ist, nenne ich das erste Vielfache Q1 und den

das ist auch der erste Rest, also R1 und dann wissen wir von diesen Teilen mit Rest, dass R1

kleiner ist als B und möglicherweise, ja, wenigstens 0 ist. Jetzt nehmen wir die nächsten beiden,

B und R1, so wie wir das hier auch haben, ja, wenn wir A und B die Teilermengen haben,

die Schnittmenge, können wir das reduzieren zum B und R und das heißt, um die dann weiter,

die will man dann ja weiter verkleinern, also hier auch, das heißt, jetzt lasse ich das B

im nächsten Schritt die Rolle von A einnehmen, hier ist also Schritt 2, das R nimmt die Rolle

vom B ein, also R1 steht dort, dann haben wir ein zweites, ein weiteres Q, das heißt,

jetzt natürlich im Schritt 2 Q2 und der neue Rest ist R2. Jetzt ist klar, R2 ist kleiner R1,

also hier unter B, die neue Rolle von B ist R1, hier die neue Rolle ist R2 und wir haben

dementsprechend die gleichen Ungleichheiten. Jetzt kann man weiter wieder gehen, Schritt 3,

das neue R1 nimmt die Rolle von B ein, dann haben wir die, der Rest R2 hat jetzt die Rolle von,

ja an dieser Stelle, jetzt können wir nämlich nur noch die Positionen, hier haben wir ein neues

Vielfaches Q, das ist im dritten Schritt Q3 und der Rest, der im dritten Schritt erscheint,

ist auch R3, also immer die neuen Zahlen haben die Indizes gleich dem Schritt, damit ist hier

entsprechend, das der neue Rest R3 kleiner als dem R2 und das ist größer gleich 0. Jetzt bin ich so

weit, dass ich nur erzeugte Buchstaben mit Indizes habe, das heißt, jetzt wissen wir,

wie es weitergeht. Jetzt kann man also Punkt, Punkt, Punkt machen und weiß, wie das im enden