Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen, dann können wir mal beginnen. Wir haben ja in der letzten Vorlesung den Begriff

der linearen Abbildungen eingeführt. Lineare Abbildungen sind Abbildungen,

die mit der Vektorraumstruktur verträglich sind. Das heißt, Linearkombinationen werden

auch wieder auf Linearkombinationen abgebildet. Ich wiederhole nochmal die Definition. Wir brauchen

zwei Vektorräume, V und W. Und die lineare Abbildung bildet dann die Punkte von V in die

Punkte von W ab. Sie können sich aber auch den Fall vorstellen, dass V gleich W ist. Das hat man

häufig zum Beispiel bei solchen linearen Abbildungen wie Drehungen oder Spiegelungen.

Typisch ist bei den linearen Abbildungen, dass immer der Nullpunkt auf den Nullpunkt abgebildet

wird. Das hatten wir ja in der letzten Vorlesung schon gezeigt. Die lineare Abbildung,

nennen wir sie einmal Phi, geht von V nach W. Das ist eine Vorschrift, die jedem Punkt in dem

Vektorraum V einen Punkt in dem Vektorraum W zuordnet. Hier sind V und W Vektorräume. Also das

VR soll Vektorraum abkürzen. Und was ist jetzt die definierende Eigenschaft? Wenn wir zwei

reelle Koeffizienten Alpha Beta haben und Vektoren V und W, dann gilt das Bild einer Linearkombination

Alpha mal V plus Beta mal W ist gleich Alpha mal Phi von V plus Beta mal Phi von W. Linearkombinationen

werden auf die entsprechenden Linearkombinationen im Bildraum abgebildet. Sie können also das Phi

mit dem Summenzeichen vertauschen oder in das Summenzeichen hineinziehen. Das verteilt sich

dann auf die Summanden und diese Koeffizienten Alpha, die können sie auch aus dem Phi herausziehen.

Daraus folgt, das hatten wir ja schon gezeigt, der Nullpunkt bleibt fix. Also der Nullpunkt in V wird

immer bei linearen Abbildungen auf den Nullpunkt im Vektorraum W abgebildet. Durch die lineare

Abbildung werden wichtige Unterräume in V und W bestimmt, wichtige Teilräume und zwar der Kern

von Phi und das Bild von Phi. Der Kern von Phi besteht aus allen Vektoren, die auf den Nullvektor

in dem Bildraum W abgebildet werden. Da ist also natürlich immer der Nullvektor in V drin, aber der

Kern kann auch viel größer sein. Der Kern von Phi ist gleich die Menge aller Vektoren V aus V mit

der Eigenschaft Phi von V ist gleich Null. Das ist also eine Teilmenge von V und dann gibt es noch

das Bild von Phi. Das ist die Menge aller Vektoren Phi von V, wenn das V durchläuft. Das sind also

alle möglichen Bildpunkte, die von dieser linearen Abbildung erreicht werden und die

Bildpunkte liegen ja in W, in dem Raum W, wo die Bilder drin liegen. Wir machen uns noch mal ein

Bild. Wichtig ist natürlich diese Definition, die enthält die komplette Information, aber oft will

man sich lieber etwas vorstellen. Also hier haben wir irgendwo den Raum V und da den Raum W und hier

in V liegt schon mal der Nullpunkt in dem Raum V und der wird ja auf den Nullpunkt im Raum W

abgebildet. Phi von Null ist immer Null, also malen wir hier den Nullpunkt in W hin, dann ist das der

Nullpunkt in V und die Abbildung die notiert man ja gerne mit Abbildungspeilen, also das Phi, das

bildet hier ab, aber hier in V gibt es ja den Kern von Phi und das ist ein Unterraum, deshalb

male ich den hier mal als Ursprungsgrade in V und die Punkte, die in diesem Kern liegen, werden ja

definitionsgemäß alle auf den Nullvektor in W abgebildet. Also alle diese Punkte werden auf den Nullvektor

in W abgebildet. Also hier, wenn der Kern nicht nur aus dem Nullvektor besteht, werden viele Punkte

auf einen Punkt abgebildet und in W werden möglicherweise nicht alle Punkte erreicht als

Bilder, da gibt es also so einen Unterraum Bild von Phi und den können wir auch als gerade malen.

Der Nullvektor wird ja immer erreicht, aber möglicherweise werden da noch andere Punkte

erreicht, da liegt dann irgendwo das Bild von Phi, auch ein Teilraum. Das können sie sich als

Ebene vorstellen, wo sie so von der Seite drauf schauen. Um das Ganze etwas konkreter zu machen,

schauen wir uns einige Beispiele für lineare Abbildungen an. Die einfachste lineare Abbildung

ist die, wo man alle Punkte von V auf den Nullpunkt in W abbildet. Dann besteht nämlich dieser Kern von

Phi aus dem ganzen Raum V und das Bild von Phi enthält dann nur diesen Nullvektor in W. Das ist

unser erstes Beispiel für eine lineare Abbildung, die ist also recht einfach strukturiert. Beispiel 1,

die Abbildung Phi von A ist der Nullvektor in W für alle, das Zeichen hatten wir ja eingeführt,

Aelement V. Ich schreibe noch mal darunter, was es heißt, also für alle. Um für alle abzukürzen,

kann man auch diesen Alquantor verwenden, das ist ein umgedrehtes A, das ist einfach eine

abkürzende Schreibweise und sie bedeutet für alle. Das Bild dazu sieht dann so aus,