Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Hallo, guten Morgen allerseits, herzlich willkommen zu den Nachrichtentechnischen Systemen.

Wir waren im Kapitel 5, wenn Sie sich richtig erinnern können.

Das Kapitel 5 heißt Puls-Koop-Modulation, also wie mache ich aus analogen Signalen Daten, wie mache ich aus einem analogen Signal einen Datenstrom.

Da sind wir im Wesentlichen schon fertig damit und wir machen jetzt einen ersten Blick über den Zaun,

wie solche Daten, Reduktionserfahren funktionieren könnten, wie man zum Beispiel aus Audiosignalen von der CID runter mit 1,4 Megabit pro Sekunde

am Schluss vielleicht dann noch 120 Kilobit pro Sekunde braucht und es klingt fast genauso,

das klingt im Wesentlichen für menschliche Ohren gleich und der erste Ansatz, der allererste Ansatz dazu und der ist auch uralt,

ist die Differenzielle Puls-Koop-Modulation und der Trick ist dabei, aus den vergangenen Abtastwerten eine Prädiktion auf den nachfolgenden Abtastwert zu machen,

was jetzt kommen wird und dann nur die Differenz zwischen dem, was man vorhergesagt hat und was wirklich eingetreten ist an den Empfänger zu übertragen.

Damit kann der Empfänger aus den vergangenen Abtastwerten die gleiche Vorhersage machen, bekommt dann den Fehler gemittelt,

kann diese Vorhersage zum tatsächlichen Wert korrigieren und hat damit den nächsten tatsächlichen Wert, aus dem er dann wieder beim nächsten Schritt auch wieder eine Vorhersage erzeugen kann.

Das ist also der Trick. Was will man dabei? Man will, dass die Varianz des Fehlers, also der Bereich, den der Fehler typischerweise in der Amplitude überschreitet,

sehr viel kleiner ist, als der Bereich, der das originale Signal hat. Wenn ich also eine Intervallhöhe von 100 mV festgelegt habe für meinen AD-Umsetzer,

dass alle 100 mV eine andere Stufe kommt und ich brauche für 10 V halt 100 Stufen und ich erreiche es jetzt, dass der Vorhersagefehler nur noch im Bereich von einem Volt stattfindet,

dann brauche ich nur noch 10 Stufen. Klar, das ist, und dann braucht man weniger Bits, um die Stufen zu adressieren und die Datenrate nimmt entsprechend ab.

So in etwa die Vorhergehensweise. Also während wir bei der Kompandierung, bei der nicht gleichmäßigen Quantisierung die ungleichmäßige Verteilung über den Amplituden

von minus 1 bis plus 1 ausgenutzt hatten, nutzen wir jetzt aus, dass das Quellensignal nicht weiß ist, also das leistungsdichte Spektrum keine Konstante ist,

sondern typischerweise bei Audiosignalen, auch bei Videosignalen zu höheren Frequenzen die Spektralanteile abnehmen.

Das heißt, die Autokorrelationsfunktion des Quellensignals nach dessen Abtastung des zeitdiskreten Quellensignals ist keine einzige Delta-Funktion bei Null,

sondern halt irgendwie eine Folge von Werten, die allmählich abklingt und diese Nebenwerte neben der Null, also bei 1, 2, 3 und so weiter,

im zeitkontinuierlichen Signal würde das 1-Abtastintervall, 2-Abtastintervalle, 3 und so weiter entsprechen, da es halt da Korrelation da ist, dass die Werte verwandt sind.

Und wir haben uns dann beschäftigt mit der linearen Prädiktion, das heißt, ich will die Prädiktion durchführen mittels eines linearen Zeitinvarianten-Filters,

eines linearen Zeitinvarianten-Systems und dazu baue ich ein FIR, ein finite impulse response filter und will dessen Koeffizienten bestimmen,

also letztlich die Impulsantwort dieses Filters bestimmen, mit der ich aus den bisherigen Werten einen möglichst guten Schätzwert für den nächsten Abtastwert bekomme,

wo ich also um ein Abtastintervall am besten in die Zukunft schauen kann.

Ok, dieses Prädiktionsfilter, das stellen wir in FIR-Struktur, in Input Delay Line Structure dar, also wir haben hier immer einmal die Abtastperiodi TA,

was natürlich in der Zeitdiskreten Realisierung dann ein D-Flipflop-Satz sozusagen darstellt oder eine Verzögerung, eine parallel D-Flipflop ist natürlich digital realisiert,

also bezüglich der Z-Transformation ein Z hoch minus 1 und damit wird also der Prädiktionswert zum Schritt K, der da hinten rauskommt,

das ist also das Ausgangssignal dieses Filters, das mit dem Eingangssignal bewertet wird und da haben wir also den Nullten-Koeffizienten,

also das Zeitdisk gleiche Eingangssignal, das einmal verzögerte und so weiter.

So, was machen wir jetzt mit dem Vorhersagewert? Wir müssen den speichern, wir speichern diesen Vorhersagewert, bis der richtige nachfolgende Wert eingetreten ist

und dann wissen wir, wie wir uns verschätzt haben, welchen Vorhersagefehler wir gemacht haben.

Also wenn der Wetterbericht für morgen sagt, es gibt plus 13 Grad und es hat plus 10 Grad, dann ist der Fehler halt 3 Grad,

aber das weiß ich erst morgen, nicht heute.

Ich muss also dem Vorhersagenwert verzögern um einen Abtastintervall, bildet dann die Differenz und das ist der Prädiktionsfehler.

Das Gesamte ist natürlich wieder ein lineares Zeitinvariantes System,

einfach mit der Übertragungsfunktion 1 für den durchgehenden Weg des aktuellen Werts minus dieses Prädiktorfilter, der Prädiktor,

aber dann nochmal um 1 verzögert, da haben wir hier H von P mal Z durch minus 1.

Damit ist der nullte Koeffizient, die Impulsantwort bei keiner Verzögerung, also von 0 ist dann 1, das ist der durchgehende Weg

und die anderen Wege werden alle um 1 mehr verzögert, weil wir ja hier nochmal eine Verzögerung drin haben.

Also gibt es jetzt dann das F von 1 und das F von 2 und das F von 3, aber mit einem Minuszeichen, weil wir hier noch ein Minuszeichen haben.

Das steht hier, die Filterkoeffizienzen des Prädiktionsfehlerfilters F von K sind also, F von 0 ist 1 und F von K für K 1, 2, 3, 4 ist also das Minus HP von K minus 1,

weil dieses dann noch einmal verzögert wird.

So, jetzt wollen wir dieses Filter optimieren und wir machen das so, dass wir die Filterkoeffizienzen, die unbekannten P plus 1 Filterkoeffizienzen so einstellen,

dass der quadratische Fehler ein Minimum erreicht, der Mittelwert des quadratischen Fehlers.

Wir wollen sozusagen dem Prädiktionsfehler die kleinstmögliche Varianz im statistischen Mittel geben. Varianz ist der Mittelwert.

Ok, damit schreiben wir das einmal hin, dass der Prädiktionsfehler, also der tatsächliche Wert, minus diesen Prädiktionswert, aber den noch um 1 verzögert.

Und ja, das ist der Vorhersagewert. Der quadratische Wert ist also das zum Quadrat.

Da müssen wir den Erwartungswert bilden, also den Mittelwert im statistischen Mittel über alle möglichen Quellensignale, die also in diesem stochastischen Prozess Q von K enthalten sind.