Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Unser Thema sind ja im Moment die Folgen reeller Zahlen. Man hat also eine Zahl, dann die nächste,

dann die nächste. Also für jede natürliche Zahl eine reelle Zahl. Das ist eine Abbildung

aus den natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen. Das kann man sich als unendliche

Liste vorstellen, also wo zum Beispiel dann drin steht eins, ein halb, ein drittel, ein viertel

und so weiter. Das entspricht dann der Folge eins durch N mit N aus N. Und hier interessiert man

sich für das Verhalten, wenn das N gegen unendlich läuft, das heißt, wenn das N größer und größer

wird. Hier haben wir zum Beispiel eine Nullfolge, also der Betrag dieser Folgen-Elemente wird

kleiner als jeder vorgegebene positive Schranke, wenn nur das N groß genug ist. Und das ist ein

Beispiel für eine konvergente Folge. Wir haben ja die Definition der konvergenten Folgen in der

letzten Vorlesung gesehen und die wiederhole ich jetzt nochmal. In der Definition der Konvergenz

so einer Folge reeller Zahlen kommt auch schon der Grenzwert vor. Das ist die Zahl gegen die

die Folgenblieder streben. Also bei der Nullfolge ist zum Beispiel der Grenzwert die Null. Also

das ist die Definition vom Grenzwert und der Konvergenz. Für den Grenzwert gibt es ja eine

bestimmte Schreibweise. A ist gleich Liemers für N gegen unendlich An. Das heißt, A ist der Grenzwert

der Folge An. Und das gilt genau dann, wenn eine Epsilon-Delta-Bedingung erfüllt ist. Also genau

dann, wenn gilt, wir geben uns irgendeine Schranke für den Abstand zwischen den Folgenbliedern und

dem Grenzwert vor. Und wenn nur der Folgenindex N groß genug ist, ist der Abstand eben kleiner

als die vorgegebene Schranke. Also für alle Epsilon größer Null gibt es eine Schranke N von

Epsilon Element R. Die Schranke kann man auch als natürliche Zahl wählen. Da nimmt man halt die

nächste größere natürliche Zahl, die gibt es ja immer. Sodass für alle Indizes N aus N,

die größer sind als diese Schranke, also klein n ist größer gleich groß n von Epsilon, gilt der

Betrag von An minus Grenzwert A ist kleiner als Epsilon. Hier kann man auch kleiner gleich Epsilon

schreiben, das kommt aufs gleiche, das läuft aufs gleiche hinaus. Die Definition ist ein bisschen

umständlich und zum Glück muss man meistens auch die Konvergenz einer Folge nicht mit dieser

Definition nachprüfen, sondern man benutzt die Liemesrechenregeln und führt den Grenzwert auf

bekannte Grenzwerte zurück oder man benutzt Konvergenzkriterien, die werden wir später auch

noch in der Volllesung sehen, die basieren zum Beispiel auf Monotonie und Beschränktheit. Dazu

dann später erstmal ein einfaches Beispiel für eine konvergente Folge. Wenn wir eine konstante

Folge haben, zum Beispiel mit An gleich Pi, diese Folgenglieder sind alle gleich Pi, für alle N

aus N, dann kann man den Grenzwert leicht ausrechnen. Der Liemes für N gegen unendlich, der An ist dann

auch Pi, das ist ja der einzige Kandidat, der hier so in Frage kommt. Wenn wir hier nämlich für das

A Pi einsetzen und für das An auch Pi einsetzen, dann steht da Pi minus Pi und das ist ja Null und der

Betrag von der Null ist auch wieder Null und Null ist sehr klein als epsilon, weil das epsilon größer

Null ist. Also das können Sie direkt an dieser Definition nachprüfen ohne Schwierigkeit. Wenn

man ein paar Grenzwerte kennt, kann man mit den Liemesrechenregeln daraus viele andere Grenzwerte

erzeugen und eine wichtige Rechenregel ist, dass die Linearkombinationen konvergenter Folgen auch

wieder konvergent sind und der Grenzwert ist dann auch die Linearkombination der Grenzwerte. Also wenn

Sie zwei konvergente Folgen haben, An, Nsn und Bn, n aus n, die müssen beide konvergent sein,

dann gilt eine Linearkombination der beiden Folgen. Also Liemes für N gegen unendlich

von alpha mal An plus beta mal Bn ist dann auch konvergent und der Grenzwert ist alpha mal Liemes

für N gegen unendlich An plus beta mal Liemes für N gegen unendlich Bn. Sie können also zum

Beispiel Folgen durchmultiplizieren mit irgendeiner reellen Zahl alpha und wenn die

Folge dann konvergent ist, dann bleibt sie konvergent. Der Grenzwert wird dann auch

multipliziert mit der gleichen reellen Zahl. Als nächstes hatten wir schon den Begriff der

Beschränktheit einer Folge definiert. Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn es eine obere

Schranke gibt. Das ist eine Zahl K, sodass die Folgenglieder alle kleiner gleich K sind. Eine

Folge ist nach unten beschränkt, wenn es eine untere Schranke gibt. Also das ist eine Zahl,

wo die Folgenglieder alle oberhalb liegen, also An größer gleich K für alle n aus n und eine Folge

ist beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist. Also zur Wiederholung An heißt