Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir hatten letzte Woche begonnen uns zu unterhalten über das Thema Balken und Balkenbiegung.

Und ich will vielleicht nur noch mal ganz kurz Ihnen in Erinnerung rufen, was wir da gemacht hatten.

Wenn man das hier sehen kann, wir hatten im Wesentlichen zwei Annahmen getroffen zur Kinematik der Balkenbiegung.

Die erste Annahme ist, dass wenn Sie so einen Balken haben, wenn Sie sich den hier mal angucken und der sich jetzt biegt, dass das seine Dicke nicht ändert.

Das war diese Inextensibilität, dass also die Durchbiegung in Z-Richtung, das ist das W, dass das an jeder Stelle des Querschnitts über die Höhe genau das Gleiche ist.

Das ist natürlich eine Nährung in gewisser Weise.

Und das zweite ist die Bernoulli-Hipothese, nämlich dass die Querschnitte, die hier eingezeichnet sind, dass die auch nach der Deformation näherungsweise gerade bleiben.

Das stimmt für den hier unten ganz besonders. Da, wo ich anfasse mit den Händen, stimmt es weniger.

Aber sage ich mal, augooptisch passt das noch ganz gut.

Und diese zwei Annahmen haben wir reingesteckt, um unsere Theorie zu entwickeln.

Und wir sind dann zu folgendem Punkt gekommen.

Das werden wir jetzt hier erstmal wieder, wie ging das nochmal mit dem Licht, ein bisschen Erleuchtung brauchen.

Ich fange mal hier an, dann könntest du es vielleicht erstmal besser sehen.

Wir hatten eben aus diesen Annahmen Konsequenzen entwickelt für die Verteilung der Verzerrungen und damit im Endeffekt auch die Verteilung der Spannungen.

Und konnten dann eben folgende Zusammenhänge zwischen den Schnittgrößen und den Balkenspezifischen kinematischen Größen erzeugen.

Das war einmal, dass die Normalkraft an jeder Stelle x, in Folge reiner Biegung, soll eben gerade null sein, da soll eben gerade keine Normalkraft auftauchen.

Die ergab sich aber aus der Integration über den Querschnitt von der sogenannten Biegenormalspannung sigma x, über den gesamten Querschnitt.

Die Spannung sigma x ist die Spannung in Balkenlängsrichtung und die variiert hier eben über die Höhe,

oben Druck und einen Zug bei dieser Belastung beispielsweise und das Integral darüber entspricht gerade der Normalkraft.

Und das soll null sein und daraus ergab sich für uns, dass unser Koordinatensystem im Schwerpunkt des Querschnitts angeordnet werden soll.

So, und die zweite wichtige Gleichung für uns ist die Beziehung zwischen den Momenten und den Spannungen.

Das hatten wir uns ja überlegt, dass wiederum, wenn Sie hier unseren Balken angucken,

ja, also an jeder Stelle über die Höhe haben Sie eine andere Spannung in x Richtung.

An jeder Stelle multiplizieren Sie die Spannung mit einem kleinen Flächenelement in dem Querschnitt

und multiplizieren das dann mit dem Hebelarm bezüglich dieser Linie hier.

Diese Linie verbindet alle Schwerpunkte oder die Schwerpunkte aller Querschnitte, die sogenannte neutrale Linie.

Und das gibt einen kleinen Hebelarm und daraus ergibt sich dann ein Moment.

Und das sieht dann im Endeffekt folgendermaßen aus.

Dieser Hebelarm ist die Koordinat z, die Kraft ist sigma x mal dA.

Und das muss ich jetzt für alle z eben aufintegrieren und kriege dann das gesamte Moment.

Und nachdem wir eben die Zusammenhänge, die wir für die Spannung sigma x uns im Vorfeld überlegt hatten, eingesetzt haben,

kam da dann folgende schöne Zusammenhang raus, dass das gerade der Elastitätsmodul multipliziert

mit einem Querschnittsbeiwert, den wir neu eingeführt haben,

sogenannte Flächenträgersmoment, multipliziert wird und eben mit der Ableitung der Verdrehung der einzelnen Querschnitte.

Dies beta ist der Winkel, um den sich die einzelnen Querschnitte verdrehen.

Also beispielsweise dieser hier hat sich gar nicht verdreht, dieser hat sich jetzt mathematisch positiv verdreht,

dieser hat sich mathematisch negativ verdreht und die Änderung dieser Verdrehung entlang der x-Achse, das ist beta-Strich.

Genau, okay. Was hier eben vielleicht noch mal bemerkenswert ist, ist eben dieses Produkt aus E und I,

das ist die sogenannte Biegesteifigkeit, das ist eine ganz wichtige Größe kombiniert Material und Querschnittsform

und dies I hier, das ist das sogenannte Flächenträgersmoment, das ist ein Beiwert oder ein Kennwert für den Querschnitt,

das werden wir später noch genau studieren und sagt, wie ist die Fläche von dem Querschnitt verteilt.

Das ist der sogenannte Flächenträgersmoment und wir hatten das eingeführt als das Integral über den Querschnitt z² da

und das bringt mich auf ein Thema, was ich letztes Mal aus Zeitgründen übersprungen habe und was ich jetzt aber trotzdem noch mal anführen will,

nämlich, warum heißt das Flächenträgersmoment?

Flächenträgersmoment, Moment kennen wir, haben wir schon eingeführt, als Hebelarm mal Kraft

und jetzt machen wir zwei Schritte der Abstraktion, erstens, dass wir Momente bilden, nicht nur mit Kräften, sondern mit allen möglichen,

immer nach der Formel, Abstand mal, was auch immer es ist, also zum Beispiel Abstand mal Fläche, das ist ein Flächenträgersmoment,

Abstand mal Masse, das ist ein Massenmoment, Abstand mal ich weiß nicht was ist, ich weiß nicht was Moment, okay?

So, wenn wir das ein bisschen generalisieren, dann sprechen wir insgesamt von den sogenannten Flächenträgersmomenten.