Hallo, wir besprechen jetzt die Präsenzaufgaben von Übungsblatt 3.

Die erste Präsenzaufgabe, die Präsenzaufgabe 6, da sollen wir jetzt ein paar Folgen auf

Konvergenz überprüfen und die Folge an ist definiert als die n-te Wurzel aus n hoch

3. Was man jetzt hier sehen muss ist, dass das gleiche ist wie n hoch 3 durch n und das

kann man auch anders rum schreiben als die n-te Wurzel aus n hoch 3. Jetzt wissen wir,

die n-te Wurzel aus n, die konvergiert für n gegen 1, das heißt natürlich konvergiert

und auch die dritte Potenz davon gegen 1. bn ist die n-te Wurzel aus n hoch minus 1 und

das ist das gleiche wie 1 durch die n-te Wurzel aus n, das heißt der Nenner konvergiert wieder

gegen 1, das heißt das konvergiert auch gegen 1. cn ist 1 durch n mal 1 plus 2 hoch Sinus

von n. Das müssen wir jetzt mit dem Einschachtelungskriterium uns anschauen. Und der Trick ist jetzt hier

zu sehen, dass 2 hoch Sinus von n sich nach oben abschätzen lässt zu 2 hoch 1 und nach

unten zu 2 hoch minus 1, also eine halbe. Daraus folgt, dass wir cn nach oben abschätzen

können durch 1 durch n mal 1 plus, jetzt Achtung, das ist jetzt hier im Nenner, das

heißt wir müssen die untere Schranke nehmen, also 2 hoch minus 1 und nach unten können

wir das abschätzen zu 1 durch n mal 1 plus 2. Beide Seiten konvergieren gegen 0, das

heißt nach dem Einschachtelungskriterium konvergiert auch das hier gegen 0.

Dn ist definiert als die 2-ente Wurzel aus 2n Fakultät und jetzt sieht man, das ist

eine Teilfolge von der n-ten Wurzel von n Fakultät. Diese Folge konvergiert gegen unendlich,

also ich soll sagen, divergiert gegen unendlich, also divergiert auch die Teilfolge gegen plus

unendlich. En ist die 2-ente Wurzel aus n Fakultät und das da ist jetzt n Fakultät

hoch 1 durch 2n, das heißt das ist Wurzel aus n Fakultät und davon die n-te Wurzel.

Das konvergiert immer noch gegen plus unendlich, das innerhalb der äußeren Wurzel, das heißt

auch das ganze konvergiert gegen plus unendlich, weil Wurzel von einer divergenten, also gegen

plus unendlich, der vergernte Folge auch gegen plus unendlich divergiert. Fn ist n Fakultät

durch n hoch n. Das kann man jetzt umschreiben als n mal n minus 1 mal und so weiter mal 1

geteilt durch n mal n mal und so weiter genau gleich viele Terme mal n. Und jetzt sieht

man alle Terme, alle, ich kann sie immer so trennen und alle Trennungen hier, also ich

kann das jetzt schreiben als n durch n mal n minus 1 durch n mal und so weiter mal 1 durch

n und die hier, die sind alle kleiner gleich 1, das heißt das da ist kleiner gleich 1

durch n. Das heißt wir haben das jetzt beschränkt zu einer anderen Folge, diese Folge kombiniert

gegen 0 für n gegen unendlich, also kombiniert auch Fn gegen 0 für n gegen unendlich. Man

muss dazu noch sagen, natürlich weil Fn auch größer gleich 0 ist, also es kann jetzt nicht

gegen in den negativen Zahlen ausweichen, es könnte ja durchaus sein, also die konstante

Folge minus 1, die ist natürlich auch kleiner gleich 0, aber kombiniert nicht gegen 0,

sondern gegen 1. Also bei Fn größer gleich 0 ist, ich schatze noch dazu, größer gleich

0 und kleiner gleich einer Folge ist die gegen 0 kombiniert, muss Fn auch gegen 0 kombinieren.

Und die letzte Folge, Gn ist gleich Sinus von 2 hoch n geteilt durch nte Wurzel aus

n Fakultät und das kann man jetzt schreiben, ich schatze mal kurz so hier, 1 durch n Wurzel

aus n Fakultät, das hier ist eine beschränkte Folge, das hier der Nenner kombiniert gegen

unendlich, das heißt der ganze Buch kombiniert gegen 0 für n gegen unendlich. Das heißt

nach dem Nullfolgen Kriterium kombiniert Gn auch gegen 0 für n gegen unendlich, weil

es ein Produkt einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge ist. Die nächste Vorsatzaufgabe ist

die P7, hier sollen wir uns die, ich muss kurz die Aufgabe aufrufen, die habe ich mir

vorhin schon gesagt, also wir sollen, die Folge An ist 1 plus 1 durch n mal Koordinus von npi

halbe. Was ist Kosus von npi halbe? Das ist, ich machs mal für n, also für n Element

1, für n gleich 1 ist es Kosus von pi halbe, das ist 0, Kosus von 2 mal pi halbe ist Kosus

von pi, das ist minus 1, da kommt wieder 0, da kommt 1, da kommt 0, da kommt minus 1

und so weiter. Das heißt es gibt drei Teilfolgen, also die blaue Teilfolge, ich mach mal so,

0, 0, 0, dann nehmen wir diese hier, dann die rote Teilfolge, minus 1, minus 1, minus 1

und so weiter und die, sag ich mal, die grüne, die hellblaue Teilfolge mit der 1, ALK. Also