Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir haben jetzt zusätzlich zur Vektorraumstruktur auch den Räumen, soweit das möglich ist, ein Skalarprodukt gegeben,

angeleitet vom konkreten Fall des RN mit dem euklidischen Skalarprodukt.

Und wir werden jetzt immer mehr sehen, dass Räume mit einem Skalarprodukt

viel leichter zur Hand haben, weil sie einfach mehr Struktur haben,

also sozusagen jetzt auch noch, wie wir gesehen haben, Winkelmessung

und damit auch Längenmessung zulassen, als es in allgemeinen Vektorräumen ist.

Ich sagte ja schon, wir wollen uns jetzt auf ein ganz, ganz zentrales Problem

erstmal konzentrieren und das ist die Frage.

Ich habe in einem vielleicht sehr, sehr großen Vektorraum einen eher kleineren,

das heißt typischerweise endlichdimensionalen Teilraum und ich frage mich jetzt,

kann ich in diesem kleinen Teilraum, den ich vielleicht handhaben kann,

schon allein deswegen, weil er endlichdimensional ist, ein allgemeines Element des großen,

eben unendlichdimensionalen Vektorraums, approximieren.

Jetzt muss man natürlich sich fragen, was heißt das,

in welchem Sinne, da muss irgendwie ein Abstandsbegriff her.

Und wir wollen uns eben jetzt auf die Situation einschränken,

dass der Abstand von einem Skalarprodukt erzeugt wird.

Man kann die gleiche Fragestellung auch aufwerfen in Räumen,

die zwar eine Norm haben, normierte Vektorräume sind,

aber eine Norm, die nicht von einem Skalarprodukt erzeugt ist,

da sind aber diese Fragestellungen wesentlich schwieriger.

Nun, einen unendlichdimensionalen Raum kann ich jetzt schlecht aufzeichnen.

Eigentlich kann ich nur den R2 aufzeichnen, das ist kein besonders großer Raum.

So, R2.

Gut, jetzt brauchen wir einen Unterraum aus dem R2,

mit dem wir sozusagen mit dem wir approximieren wollen.

Naja, da gibt es nicht, das ist auch überschaubar, was es da für Unterräume gibt.

Nehmen wir mal den hier her.

Und ich nehme mal diesen Vektor hier her.

Das ist mein Vektor X, also wenn Sie wollen, dieser Ortsvektor.

So, wie finde ich den jetzt?

Und ich versehe den R2 mit der euklidischen Norm, erzeugt vom euklidischen Skalarprodukt.

Wie finde ich denn jetzt auf dieser Geraden den Punkt,

der im Sinne eines kleinsten Abstands, gemessen in dem euklidischen Abstand,

diesen eingezeichneten Punkt am besten approximiert?

Was muss ich da geometrisch machen?

Ja? Ein Lot fällen.

Schauen wir mal, ob ich das hinkriege.

Das heißt, ich...

Und, also Ihre Behauptung ist jetzt dieser Punkt hier, den ich hier gefunden habe,

dieser Punkt Y, sagen wir mal, das hier wäre mein, sozusagen mein X,

das wäre mein Y, das ist das eindeutig bestimmte Element,

und das sagt uns jetzt auch die geometrische Anschauung,

was zu diesem Punkt X den kleinsten Abstand hat.

Wenn dem so ist, wir nennen den Unterraum mal U,

dann nennen wir das, dann ist das also etwas, was eindeutig von X bestimmt ist,

dann nennen wir es P, P wie Projektion von X,

und damit wir wissen, dass wir auf U projizieren, nehmen wir das U noch im Index.

Und es ist klar, wenn ich den Punkt jetzt etwas variiere,