In diesem Video wollen wir uns mit der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen

beschäftigen und analog zum letzten Kapitel der Vorlesungen im letzten Semester werden wir anfangen,

uns mit homogenen linearen Differentialgleichungen zu beschäftigen. Es wird jetzt nicht so sein,

dass wir eine Wiederholung des Stoffes der letzten Vorlesungen machen werden, sondern eine direkte

Generalisierung, denn anstatt uns den skalaren Fall, das heißt für den Fall n gleich 1,

gewöhnliche Differentialgleichung anzuschauen, wollen wir nun ein Anfangswertproblem in einem

vektoriellen Vektorraum anschauen, das heißt wir werden ein Differentialgleichungssystem betrachten.

Das heißt, das Problem, mit dem wir uns heute beschäftigen wollen, hat folgende Gestalt.

Das folgende Anfangswertproblem können wir schreiben als die Zeitableitung der Funktion

x in der unabhängigen Variable t sei eine Matrix A multipliziert an den Funktion x von t, die in

einen Vektorraum abbildet und das soll schon mal gelten für alle t aus einem beliebigen

Zeitintervall, das wir nennen wollen und ohne Beschränkung der Allgemeinheit wollen wir uns

hier auf die nicht negativen reellen Zahlen konzentrieren und ich habe gesagt, das ist ein

Anfangswertproblem, das heißt wir müssen für diese Funktion x auch ein Startwert vorgeben und

der ist wie folgt, wir schauen uns einen Zeitpunkt t0 an aus dem Intervall i und sagen die Funktion x,

die wir nicht kennen, soll zu diesem Zeitpunkt t0 den Anfangswert x0 haben und der liegt in

irgendeiner Untermenge u des Vektorraums r hoch n. Das heißt, wie man sieht, sind wir jetzt in

einem allgemeineren Fall wie vorher, im Fall n gleich 1 würde sich alles reduzieren auf den

skalaren Fall, den wir in der letzten Vorlesung diskutiert haben und wir wollen jetzt sehen,

wie funktioniert das Ganze für Differentialgleichungssysteme. Jetzt ist es so,

ich habe gesagt, wir schauen uns homogene lineare Differentialgleichung an. Zum einen ist die ganze

Geschichte linear, da die Matrix A nun mal ein linearer Operator ist. Das wollen wir vielleicht

mal zuerst festhalten. Linearer Operator und da wir im endlichdimensionalen Fall sind, können wir

auch direkt sagen, es gibt eine Matrix-Darstellung dieses linearen Operators. Ja und warum ist die

ganze Geschichte homogen? Das liegt daran, dass wir auf der rechten Seite keine Störfunktion haben,

das heißt ansonsten hätten wir da noch eine Funktion b in Abhängigkeit von t, die bekannt

ist. Die lassen wir jetzt für den Fall erstmal weg und konzentrieren uns auf diesen homogenen Fall.

Dann haben wir noch eine weitere Einschränkung gegenüber dessen, was wir in der letzten Vorlesung

gemacht haben, nämlich im Skalanenfall war die lineare Funktion damals noch mit kleinen a geschrieben,

selbst zeitabhängig. Wir wollen hier davon ausgehen, dass unsere Koeffizientenmatrix A

konstant ist über die Zeit, das heißt, sie hängt nicht von der Zeit ab, damit wir sozusagen im

Setting von autonomen Differentialgleichungssystemen sind, die wir schon eingeführt haben. Das wollen wir

vielleicht an der Stelle noch mal festhalten. Wir bemerken, dass im Gegensatz zum Skalanenfall,

den wir im letzten Semester diskutiert haben, das heißt insbesondere n gleich 1 hängt die Koeffizientenmatrix

A und A ist eine beliebige quadratische Matrix über den komplexen Zahlen. Es ist eine n-Kreuz-n-Matrix,

hängt nicht von der Zeit ab, das heißt im Endeffekt wir beschäftigen uns mit dem Fall,

dass eine Matrix A von T in dem Fall wirklich nur konstant die Matrix A ist, also nicht mehr

von der unabhängigen Variable A abhängt. Das hat den Vorteil, dass wir dann uns sozusagen

mit einem autonomen Differentialgleichungssystem beschäftigen. Autonomes DGL-System. Genau,

diese Gleichungen, die werden wir uns jetzt näher anschauen und uns überlegen, wie Lösungen

solch ans Anfangswertsproblem aussehen. Da wir öfter auf die Gleichungen referenzieren werden,

werde ich die an dieser Stelle einfach mit einem Sternchen versehen, damit klar ist,

wir meinen dieses Anfangswertproblem. Bevor wir uns jetzt Lösungen herleiten können für dieses

Anfangswertproblem, wollen wir zuerst ein hilfreiches Funktionalkalkül einführen,

das für sich ein schon spannendes analytisches Hilfsmittel ist, zu dem man auch sehr viele

Eigenschaften zeigen kann, das wir aber nur nutzen wollen, weil sich damit Lösungen dieses

Anfangswertsproblems sehr elegant und kompakt schreiben lassen. Und zwar werden wir uns jetzt

beschäftigen mit dem sogenannten Matrix-Exponential. Das ist sozusagen eine

Verallgemeinerung der normalen Exponentialfunktion, eben für Matrizen, die in Exponenten stehen.

Zuerst machen wir folgende Definition zum Matrix-Exponential. Wir gehen uns erstmal