Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Okay, soweit ich informiert bin, habt ihr letzte Woche das Wärmigas besprochen. Das heißt,

die logische Konsequenz ist, dass wir heute das Bose-Gas behandeln. Das heißt, wir haben jetzt

Kapitel 6.3, das Bose-Gas. Okay, und das erste, was wir jetzt machen möchten, ist, wir möchten

bestimmen, was ist die mittlere Besetzungszahl eines Niveaus im Bose-Gas. Und erinnert euch,

was sind denn die Besetzungsmöglichkeiten für ein Level? Für ein Wärmigas war das immer nur 0 und

1, weil immer maximal ein Teilchen pro Level da sein durfte. Aber jetzt für Bosonen gibt es

keine solche Beschränkungen und das sind einfach alle ganzen Zahlen, die hier möglich sind.

Ja, damit wir jetzt diese Größe ausrechnen können, brauchen wir die Besetzungswahrscheinlichkeiten.

Also, was wir brauchen, ist PnL, die Wahrscheinlichkeit N-Teilchen im Lten Level zu finden. Und wie schon

beim Wärmigas gehen wir wieder davon aus, dass wir jedes Level als großkanonisches Ensemble

betrachten können. Das heißt, wir können hier einfach den Ansatz E hoch minus beta mal die

Energie minus mu, weil wir jetzt im großkanonischen Ensemble sind. Und was ist die Energie? Na ja,

die Energie ist nL mal epsilon L, also die Anzahl Anregungen pro Energielabel minus mu. Und das

mu muss auch mit der Anzahl nL multipliziert werden. Und das Ganze teilen wir durch die Zustandssumme

des großkanonischen Ensembles für dieses Niveau L, das wir betrachten. Das heißt,

was wir jetzt brauchen, ist diese Zustandssumme. Und diese Zustandssumme ist erstmal einfach die

Summe über alle möglichen NLs von Null bis unendlich in dem Fall. E hoch minus beta nL

mal epsilon minus mu. Und ich hoffe, dass euch mittlerweile diese Summe bekannt vorkommen sollte.

Das hier ist die geometrische Reihe. Also ihr habt hier ein E hoch minus beta epsilon minus

mu hoch n im Prinzip. Und das heißt, wir können das praktischerweise einfach auswerten als eins

durch eins minus E hoch minus beta epsilon L minus mu. Okay. Jetzt haben wir also diese ganzen

Wahrscheinlichkeiten pNLs bestimmt. Wenn wir jetzt diese NLs tatsächlich ausrechnen möchten,

also diese mittlere Besetzungszahl, dann wissen wir, das ist ja nichts anderes wie die Summe über

alle NLs gewichtet mit ihrer Wahrscheinlichkeit. Also diese Summe geht wieder über alle NLs.

Diese Summe geht über alle NLs. Und naja, diese Summe ist fast die Zustandssumme, nur dass hier

ein NL davor steht. Und das ist dieser alte Ableitungstrick, den wir schon des Öfteren verwendet

haben. Wie können wir ein NL hier hinbekommen? Na ja, wir leiten nach epsilon ab. Und um

vollständig zu sein, hier fehlt ein L. Also leiten wir nach epsilon L ab. Wenn wir aber nach epsilon

L ableiten, bekommen wir ein minus beta davor. Das möchten wir nicht. Also machen wir das wieder

gut mit minus eins durch beta. Und naja, in den pNLs steht ja auch eins durch die großkanonische

Zustandssumme. Und damit wir die bekommen, leiten wir den Logarhythmus ab. Okay. Das heißt,

diese Ableitung von Ln gibt uns einmal eins durch die Zustandssumme. Dann gibt es uns die Ableitung

von diesem hier, was uns das NL produziert und die E-Funktion. Das ist genau dasselbe,

wie das, was wir hier haben möchten. Ja, darüber habe ich auch nachgedacht. Stimmt. Okay. Und das

heißt, wir rechnen jetzt das hier aus, weil das können wir jetzt mit der Hilfe dieser

Zustandssumme tatsächlich berechnen. Das heißt, wir müssen hier die Ableitung nehmen.

Also das erste, was wir machen ist, wir setzen den Logarhythmus, diese Zustandssumme ein. Logarhythmus

von eins ist null, minus Logarhythmus von dem Nenner. Das heißt, dieses minus fällt weg. Und

wir bekommen hier Logarhythmus von eins minus e hoch minus beta epsilon L minus mu. Okay.

Wenn wir jetzt weiter rechnen, dann steht hier also eins durch beta mal die Ableitung. Die

Ableitung von Logarhythmus ist erstmal eins durch. Also wir haben auf jeden Fall durch eins minus

e hoch minus beta epsilon minus mu. Und dann haben wir noch die Ableitung des hinteren Terms, also der

E-Funktion nach epsilon L. Das gibt uns ein minus e hoch minus beta epsilon minus mu, mal die obere

Ableitung noch, also noch mal minus beta. Das beta fällt weg, das minus fällt weg und es bleibt

stehen. Diese E-Funktion oben und dieser Nenner und das können wir umschreiben als eins durch e

hoch plus beta epsilon minus mu minus eins. Und ich habe mal wieder überall die Ls vergessen. Also

diese Epsilons tragen alle den Index L, weil wir hier immer noch die mittlere Besetzung des

L-Niveaus ausrechnen. Okay. Und dieses hier, also dieses NL ist gleich eins durch e hoch

beta epsilon L minus mu minus eins. Das ist die Bose-Einstein-Statistik. Ihr erinnert euch vielleicht