Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Guten Morgen. Wir hatten letztes Mal einen ganzen Zoo von verschiedenen Mehrschrittverfahren

kennengelernt. Unterschiedlicher Mehrschrittigkeit. Wir haben natürlich die Hoffnung, je höher die

Schrittanzahl ist, das heißt, je höher der Aufwand ist, den wir treiben, desto besser sind die

Verfahren. Das gleiche gilt natürlich auch in der Abwägung zwischen explizit und implizit. Das

wissen wir aber jetzt noch nicht und das müssen wir jetzt untersuchen. Und wir wissen schon aus

den Einschrittverfahren, dass es da zwei Blickrichtungen gibt, die sich im Allgemeinen

nicht unbedingt unterstützen. Das eine ist der asymptotische Blick auf das Verfahren. Ich möchte

eine möglichst hohe Konvergenzordnung haben. Das heißt, ich möchte garantiert haben, wenn ich

meinen Aufwand verdopple, indem ich das Haar halbiere, dann möchte ich einen möglichst großen,

möglichst optimal, also möglichst kleinen Verkleinerungsfaktor im Fehler dann sehen.

Das ist die eine Blick auf die Geschichte, die wir jetzt erst mal verfolgen werden. Der andere

Blick, insbesondere eben für steife Systeme, ist der, wann kann ich sicher sein, dass ich für

beliebige schrittweite Lösungen bekomme, die sich qualitativ korrekt verhalten, sodass ich also mich

nur auf die Frage der Genauigkeit bei der Auswahl der Schrittweite konzentrieren kann und nicht auf

Fragen der Stabilität berücksichtigen muss. Das wird dann die zweite Überlegung werden.

Wir fangen also mit der asymptotischen Überlegung an. Die Grund, die Basis ist natürlich die

Konsistenz eines Verfahrens. Wie wir schon bei den Runge-Kutta-Verfahren gesehen haben, lässt sich

die Frage der Konsistenz, das ist mehr sozusagen die Seite der Algebra, die lässt sich in Form von

Gleichungen über die definierenden Parameter des Verfahrens charakterisieren. Ich bleite da noch

mal zurück. Wir hatten gesehen, wir konnten Konsistenz dadurch charakterisieren, dass für

diese definierenden Zahlen a0 bis am bzw. b0 bis bm, die unser Lineares Mehrschrittverfahren ausmachen,

wir im Wesentlichen zwei Bedingungen haben. Summe der ak muss 0 sein und Summe der k mal ak muss

Summe der bk sein. Diese beiden Bedingungen können wir auch kompakt schreiben, wenn wir die

zugehörigen Polynome einführen, die gerade die a- bzw. b- als Koeffizienten haben. Die nennen

wir dann erstes und zweites charakteristisches Polynom. Das ist also hier das rho und das sigma.

Das wäre also hier die Bedingung rho von 1 gleich 0 und das zweite ist die Bedingung rho

Strich von 1 gleich sigma von 1. Hinzu kommt, dass die Werte der Vorlaufrechnung, die wir immer bei

einem M-Schrittverfahren M größer 1 brauchen, dass die auch konvergieren gegen den Startwert. Das

ist sozusagen der erste Teil des Konsistenzfehlers und diese beiden Bedingungen kümmern sich dann

um den eigentlichen Teil des Konsistenzfehlers. Jetzt wollen wir natürlich mehr wissen. Jetzt

wollen wir auch eine Konsistenzordnung wissen und darüber macht jetzt der nächste Satz eine Aussage.

Voraussetzung ist, dass unsere Anlaufrechnung die richtige Genauigkeit hat. Das drückt sich dadurch

aus, dass der Konsistenzfehler, der Abschneidefehler auf den ersten M stellen, die sich also auf den

Startwert bzw. die Anlaufrechnung beziehen, schon dieses Groß-O von H hoch P Verhalten haben soll.

Ist klar, dass wir das brauchen. Wenn wir nicht so gut starten, können wir nicht erwarten, dass das

Gesamtverfahren diese Qualität hat. Unter dieser Voraussetzung können wir dann die Konsistenzordnung

P und zwar für beliebige hinreichend glatte rechte Seiten CP, CP in einer Umgebung der exakten Lösung

durch eine Folge algebraischer Gleichungen charakterisieren. Da taucht wieder die Summe

der ak gleich 0 auf, wie schon gesehen. Dann sollte auch die andere Bedingung auftauchen,

die wir gesehen haben. Das verbirgt sich hier für den Fall P gleich 1. Das wäre hier die Summe der

k ak, ist gleich die Summe der bk. Das heißt also, wenn wir nochmal zurückblicken auf unsere

vorherige Charakterisierung, hätten wir mit diesem Satz auch noch zusätzlich, dass wenn die rechte

Seite glatt genug ist C1, das hatten wir nicht vorausgesetzt, wir hatten nur C vorausgesetzt und

damit die Stetigkeit respektive gleichmäßige Stetigkeit von y'. Das ist in den vorherigen

Umgeweis eingegangen. Also unter dieser erhöhten Glattheit haben wir unter diesen beiden vorherigen

Bedingungen schon Konsistenzordnung 1. Wenn wir jetzt noch mehr haben wollen, geht das, sagt die

Bedingung, geht es eben weiter mit den Gleichungen, die hier stehen, dann für die weiteren Indices i

bis zum Index P. Also diese Gleichungen muss, diese Summe P plus 1 Gleichungen müssen erfüllt sein.

Und das Schöne an den Gleichungen ist jetzt, wenn wir da mal hinschauen, ja das ist auch nicht so