Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, Grüß Gott zusammen nach dieser langen Pause, die Sie hoffentlich wenigstens genutzt haben,

um den großen Bergstein zu erwerben. Trotz des schlechten Wetters wollen wir uns mal wieder

daran erinnern, was denn so Mehrschrittverfahren waren. Ich muss mich auch wieder ein bisschen

dran erinnern. Wir hatten angefangen, Mehrschrittverfahren erst einmal prinzipiell einzuführen und dann uns große

Beispielklassen anzuschauen bzw. uns eine erste Beispielklasse anzuschauen, nämlich wie erhalte ich

Mehrschrittverfahren über numerische Quadratur. Wir werden gleich noch einen alternativen Zugang

sehen. Es soll jetzt erstmal darum gehen, diese Verfahren zu entwickeln, einfach einmal zu schauen,

wie bekomme ich an diese Verfahren heran, also an sozusagen die Parameter, die die Verfahren ausmachen

und dann in einem weiteren Schritt, wahrscheinlich dann ab morgen, werden wir ganz analog zur Theorie

von Einschrittverfahren uns sozusagen um die Asymptotik dieser Verfahren kümmern, das heißt

also, wie sieht es da aus mit Stabilität, Konsistenz, Konvergenz. Gut, wir steuern ja auf

sogenannte lineare Mehrschrittverfahren zu, die im Wesentlichen durch zwei Sätzen von Parametern

Alpha i und Beta i gegeben sind. Mit den Alpha i bilden wir eine gewisse Linear-A-Kombination der

Y-Werte, beginnen sozusagen vom oben, vom aktuellen unbekannten Wert zum Index j plus m,

herunter bis zum Index j, das heißt, wir haben ein M-Schrittverfahren, wir ziehen maximal

M alte Werte in die Berechnung mit ein, das ist das, was an die linke Seite ausmacht und auf der

rechten Seite haben wir eine analoge Linear-A-Kombination und das ist eben das, was ein

lineares Mehrschrittverfahren ausmacht, der F von Y-Werte, wobei Y dann eben wieder der

betreffende Näherungswert ist. Eine Möglichkeit, solche Verfahren zu definieren, ist das Stichwort

numerische Quadratur, das heißt also, das hatten wir schon das letzte Mal gesehen, was macht man,

also wir schreiben die Differentialgleichung äquivalent in eine Integralgleichung um,

das ist hier noch für die exakte Lösung, in dem wir uns entscheiden, über welches Teilintervall

von t j plus m sozusagen nach unten schauend wir integrieren wollen, das ist jetzt hier von t j plus

m minus q bis t j plus m, das heißt also, m ist ein solcher Parameter, der das Mehrschrittverfahren

ausmacht, m sollte natürlich kleiner gleich, Entschuldigung q sein, solcher Parameter, q sollte

kleiner gleich m sein, weil wir nicht außerhalb des Bereichs der Werte, die wir einbeziehen wollen,

gehen können. Wenn wir jetzt anstelle der Y-Werte unsere Näherungswerte setzen, wissen wir natürlich

im Allgemeinen nicht, wie wir dieses Integralwert auszuwerten haben, das heißt, wir müssen den

Integralwert wieder durch ein Näherungswert ersetzen, bei diesem Näherungswert, diese Näherungsformel,

die Quadraturformel sollte natürlich nur auf Stützpunkte t k zugreifen und auf diese Weise

auf f von t k, y von t k und dann kann man aber auch in einem zweiten Aboksimationsschritt sagen,

jetzt ersetzt sich da die exakten Y-Werte durch die Näherungswerte und bekommt dann wirklich eine

Formel, die nur in den Näherungswerten definiert ist, mit diesem doppelten Aboksimationsschritt.

Wir wollen das hier machen mit Newton-Codes-Formeln und zwar stützen wir die wiederum auf r plus

eins Stützstellen, also r ist die nächste charakteristische Zahl neben dem q für ein

solches Mehrschrittverfahren und zwar sollen die Stützstellen, die werden, wenn wir hier sozusagen

von oben nach unten gehen, gehen wir mit den Stützstellen von unten nach oben, wir fangen

bei j an und also am weitesten zurückliegenden Punkt und gehen bis zur Stelle dj plus r. Je nachdem,

ob der Interpolationsbereich hier, den Integrationsbereich, den wir hier haben,

überdeckt oder nicht, spricht man im Überdeckungsfall von einem Interpolationsverfahren,

was entsteht, beziehungsweise im anderen Fall von einem Extrapolationsverfahren, weil wir die

Situation haben, dass wir das Interpolationspolynom außerhalb des Intervals seiner

Stützstellen dann auswerten. Also hier ist nochmal ein allgemeines Beispiel dazu, das wäre ein

Fünfschrittverfahren, das heißt also wir berechnen den Wert dj plus fünf durch Benutzung, an der

Stelle dj plus fünf durch Benutzung von fünf alten zurückliegenden Werten. Wir haben hier den Fall

q gleich zwei, das heißt also wir haben hier einen Integrationsbereich, der geht zwei Teilintervalle

zurück und wir haben r gleich zwei, das heißt wir haben einen Interpolationsbereich, der geht zwei

Teilintervalle vor, der überdeckt, die überlagern sich nicht einmal, also insbesondere überdeckt

er diesen hier nicht, das ist also ein Extrapolationsverfahren. Es hat sich herausgestellt,