Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, ich begrüße Sie zu unserer Vorlesung zur Mathematik für Ingenieure. In der letzten

Vorlesung haben wir ja das Kapitel über die Determinanten abgeschlossen und am Ende des

Kapitels hatten wir einen Satz über den Zusammenhang zwischen Determinanten von quadratischen Matrizen

und dem Rang von quadratischen Matrizen. Den Satz habe ich Ihnen noch einmal aufgeschrieben.

Die Determinanten sind ja nur für quadratische Matrizen überhaupt definiert, also n Kreuz n

Matrizen. Die bestehen dann aus n Spaltenvektoren und die Spalten sind jeweils auch im R hoch n.

Dann hat diese Matrix eine Determinante und wenn die Determinante ungleich Null ist,

dann ist das in einem gewissen Sinn eine gute Matrix. Warum? Sie hat dann vollen Rang, das heißt,

die Spaltenvektoren sind linear unabhängig. Das heißt, das Bild der Matrix A, das wird ja von

den Spaltenvektoren aufgespannt, ist der ganze R hoch n und dann bleibt für den Kern nur noch

der Nullraum der triviale Kern übrig. Und in dieser Situation ist die lineare Abbildung,

die durch die Matrix A definiert wird, also x wird abgebildet auf das Matrixvektorprodukt A mal x.

Diese lineare Abbildung ist dann bijektiv und das heißt, es gibt dazu eine inverse Abbildung,

die geht dann auch wieder vom R hoch n in den R hoch n. Wenn Sie einen Punkt A mal x haben und die

inverse Abbildung darauf anwenden, dann wird er wieder zurück abgebildet auf das Urbild x. Das

ist dann eindeutig definiert als Abbildung. Also die Matrizen, wo die Determinante ungleich Null ist,

haben lauter schöne Eigenschaften und deshalb bekommen die auch einen speziellen Namen. Man

nennt die nämlich die regulären Matrizen. Also hier sehen Sie die Definition einer solchen regulären

Matrix, die muss eine der Bedingungen aus dem letzten Satz erfüllen, also zum Beispiel die

Determinante der Matrix darf nicht verschwinden, dann nennt man die Matrix A regulär, man sagt

auch nicht singulär, denn die Matrizen, bei denen die Determinante gleich Null ist, also verschwindet,

die heißen singulär. Die gibt es auch, die haben andere Eigenschaften, die haben nicht so kleine

Kerne. Und für diese regulären Matrizen kann man jetzt die inversen Matrizen definieren. Für

die regulären Matrizen haben wir ja gesehen, die lineare Abbildung zu der Matrix ist biaktiv,

man kann sie also invertieren und die Matrix zu der inversen Abbildung, die nennt man inverse

Matrix zu A. Also zu einer regulären quadratischen Matrix findet man eine inverse Matrix und die ist

auch quadratisch im R hoch n Kreuz n und hat die Eigenschaft, wenn man A mit A hoch minus

1 multipliziert, kommt die Einheitsmatrix heraus. Die Einheitsmatrix haben wir ja schon gesehen,

die spielt hier ja die Rolle der 1 in dieser Matrizenalgebra, wo man multiplizieren kann.

Und die 1 kennen Sie ja schon lange und die Matrix A können Sie sich auch vorstellen wie

eine Zahl 2 und da gibt es ja dann auch 2 hoch minus 1, das ist ein halb, das kennen Sie schon

lange, das ist das inverse Element zu 2 und so gibt es hier halt inverse Matrizen und das

funktioniert nur, wenn Sie nicht durch Null dividieren und das heißt hier die Determinante

muss eben ungleich Null sein, dann funktioniert das. Also diese Matrix A hoch minus 1, die können

sich so vorstellen als Matrix zu der Umkehrabbildung, zu der Matrix A und diese Umkehrabbildung ist ja

auch wieder linear, hat also auch eine Abbildungsmatrix, wo in jeder Spalte die

Bilder der Basis Einheitsvektoren stehen. Hier steht I gleich A mal A hoch minus 1, wir wissen

ja auch im Allgemeinen ist diese Matrizenmultiplikation nicht vertauschbar, also da dürfen Sie im Allgemeinen

nicht die Reihenfolge vertauschen. Hier ist es aber so, wenn Sie haben I gleich A mal A hoch

minus 1, dann haben Sie auch A hoch minus 1 mal A ist die Einheitsmatrix. Das kennen Sie ja von

den Zahlen, also wenn es kommutativ ist diese Multiplikation, dann ist es klar, aber hier ist

sie gerade nicht kommutativ und es gilt trotzdem, also es ist egal in welcher Reihenfolge Sie eine

Matrix und die inverse multiplizieren, es kommt immer die Einheitsmatrix heraus. Das kann man so

sehen, wenn man auch minus 1 mal A betrachtet, kann man da ja so eine Einheitsmatrix in die Mitte

einschmuggeln, die verändert ja nichts beim Matrizen multiplizieren, die Einheitsmatrix, die

spielt da die Rolle der 1 und für die Einheitsmatrix kann man dann A mal A hoch minus 1 einsetzen und

dann kann man hier ja anders klammern, es gilt ja ein Assoziativgesetz, dann haben Sie A hoch

minus 1 mal A mal A hoch minus 1 mal A, also das ist A hoch minus 1 mal A zum Quadrat und A hoch

minus 1 mal A ist ja auf jeden Fall auch regulär als Produkt, regulärer Matrizen, da können Sie