Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Guten Morgen, wir haben in der letzten Vorlesung über Determinanten gesprochen und im dreidimensionalen

Fall haben wir auch schon das SPART Produkt kennengelernt. Das ist nichts anderes als

die Determinante einer Dreikreuz-Dreimatrix. Hier sehen Sie so einen SPART, das ist einfach in

dem Fall ein Würfel, der von den drei Standardbasis-Einheitsvektoren aufgespannt wird.

Wir haben ja für die SPART Produkte diese Notation mit den eckigen Klammern eingeführt.

Und wenn Sie diese drei Vektoren in die Matrix-Klammern schreiben, haben Sie eine

Einheitsmatrix. Dieses SPART Produkt ist also gleich der Determinante der Einheitsmatrix und

die ist eins. Das ist auch das Volumen dieses Würfels mit der Seitennänge eins. Also die Formel

ist ja Länge mal Höhe, mal Breite. Also da kommt hier eins heraus, die Determinante der Einheitsmatrix.

Und diese Basisvektoren können Sie jetzt ja abbilden durch eine lineare Abbildung. Sie wissen

ja, eine lineare Abbildung ist schon eindeutig bestimmt, wenn die Bilder dieser Basis-Einheitsvektoren

bekannt sind. Man kann die zum Beispiel auf folgende Weise abbilden. Also der erste

Einheitsvektor wird auf Phi von E1 abgebildet, also von der Achse wird er nach oben gedreht und

verlängert. Der zweite Basis-Einheitsvektor wird nach hinten verdreifacht und der dritte bleibt

hier konstant. Dann haben Sie so einen Spat und das hat natürlich auch ein Volumen. Das Volumen

bekommt man wieder durch das Spatprodukt oder indem man die drei Bildvektoren der Basis-Einheitsvektoren

in eine Matrix schreibt. Das ist dann folgende Matrix. Also dieser Vektor 2,0,2 in der ersten

Spalte ist das Bild des ersten Basis-Einheitsvektors. Dann kommt das Bild von E2 und das Bild von E3.

E3 wird hier auf sich selbst abgebildet. Und die Determinante dieser Matrix kann man leicht

ausrechnen, die ist 6. Und das heißt aus diesem Würfel, aus der ersten Abbildung wird durch die

lineare Abbildung dieses Spat gemacht, dieser Spat und das Volumen wird dabei versechsfacht. Und die

Determinante, die gibt gerade den Faktor an, der sagt, wie sich das Volumen vergrößert bei der

linearen Abbildung. Das ist also eine gute Vorstellung, die Sie von der Determinante haben

können. Es kann auch sein, dass dieser Determinantenfaktor die Determinante 0 ist.

Das ist dann der Fall, wenn die linear unabhängigen Basis-Vektoren nur auf einen Unterraum

abgebildet werden, der hier eine Dimension 2 oder 1 hat, also nicht auf ein volles Volumen. Dann

klappt ja dieses Spat zusammen. Dieser Spat wird dann zu einer Fläche und die hat kein Volumen mehr.

Die Determinante macht also auch eine Aussage über die lineare Abhängigkeit der Spaltenvektoren.

Dazu kommen wir dann später auch noch. Jetzt kann man ja nicht nur auf dieses Objekt abbilden,

sondern auch hier auf so einen Spat. Und hier sehen Sie, das ist doppelt so hoch wie vorher,

also der dritte Basis-Einheitsvektor bleibt jetzt nicht mehr konstant, sondern wird auf

002 abgebildet, also doppelt so groß. Und anschaulich ist klar, dass sich dabei das

Volumen verdoppelt, also Sie legen zwei dieser Teile übereinander. Und tatsächlich haben wir

jetzt auch eine Determinante von 12. Von dieser neuen Abbildungsmatrix vorher war die Determinante 6.

Und der Hintergrund ist folgender, diese Determinanten-Abbildung ist linear in jeder

Spalte. Also hier haben Sie ja ein Faktor 2 in der dritten Spalte im Vergleich zu vorher und den

können Sie einfach aus der Determinante herausziehen. Sie haben also zweimal die Determinante von vorher.

Diese Determinanten-Abbildung ist linear in jeder Spalte und das haben wir in einem Satz auch schon

in der letzten Vorlesung aufgeschrieben. Ich habe es hier nochmal formuliert. Der mathematische Begriff

dafür ist, Determinanten sind multilinear Formen. Das klingt dramatisch, das heißt nur, dass sie in

jeder Spalte lineare Abbildungen sind. Determinanten sind ja reellwertig, das sind also Abbildungen vom

R hoch N in die reellen Zahlen. Wenn Sie das spaltenweise betrachten, das machen Sie so, Sie

haben Ihre Matrix A mit den Spalten A1 bis A M, dann wählen Sie eine Spalte J und lassen alles wie

es ist außer an der Spalte J, ersetzen Sie die Spalte durch ein X. Also die J-Spalte wird dann zu

Ihrer Variablen X, die können Sie da einsetzen. Dann kriegen Sie ja für jeden Wert dieser Spalte

X aus dem R hoch N eine reelle Zahl heraus und diese Abbildung vom R hoch N in die reellen Zahlen ist

linear. In dem Beispiel eben hatten wir hier ja zweimal diese Spalte vom Anfang, zweimal E3 und

da konnten wir die zwei herausziehen und das ist ja eine Eigenschaft bei linearen Abbildungen, dass

man vielfache bei Skalarprodukten also einfach auch vor die Abbildung ziehen kann. Die andere