Hallo allerseits, wir schauen uns gerade an, weiterhin die gekoppelten Oszillatoren und ich war jetzt ganz am Ende dieses Kapitels nochmal dazu zurückgekehrt,

dass wir uns fragen, was passiert denn ganz allgemein, wenn ich mit beliebigen Kräften treibe, was passiert, wenn ich in beliebiger Weise die Frequenzen ändere?

Und Tatsache ist, dass unter all diesen Operationen der Hamilton-Operator weiterhin quadratisch bleibt.

Und das hat Konsequenzen, das hat zum Beispiel die Konsequenz, dass die Wellenfunktion, wenn sie mal eine Gausswellenfunktion war, weiterhin eine Gausswellenfunktion bleibt,

dass die Heisenberg-Bewegungsgleichungen linear sind und dass insbesondere auch die Erwartungswerte von Ort und Impuls sich genauso verhalten, wie die klassischen sich verhalten würden.

Wenn wir wollen, können wir die Situation auch schematisch darstellen.

Zum Beispiel, ich könnte hier einen Pendel haben, auf das wirkt eine beliebige zeitabhängige Kraft.

Und ich könnte auch ein anderes Pendel haben, dessen Frequenz ich verändere.

Sie wissen, die Frequenz eines Pendels, wenn ich das Bild ernst nehme, hängt von der Länge ab.

Und das heißt, wenn ich diese Länge verändern würde, dann würde ich auch die Frequenz des Pendels verändern.

Und die Aussage ist, selbst wenn diese vielen Pendel dann miteinander gekoppelt sind und diesen Kräften und zeitlich veränderlichen Frequenzen ausgesetzt sind,

bleibt eine Gausswellenfunktion für alle Zeiten eine Gausswellenfunktion.

Und der mathematische Grund dafür ist, dass der Hamilton-Operator quadratisch ist.

Und wie würde man das zeigen? Man würde einfach einen Ansatz für eine beliebige Gausswellenfunktion einsetzen,

in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung und beweisen, dass man mit diesem Ansatz dann die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für alle Zeiten lösen kann.

Übrigens sollte ich vielleicht noch dazu sagen, es ist dafür nicht wirklich nötig, dass der Hamilton-Operator in dieser rotenigen Wave-Approximation dargestellt ist.

Es ist nur wichtig, dass er quadratisch ist. Das heißt, er kann x², p², x·p und so enthalten.

Und die könnten wir, wenn wir wollten, dann auch wieder durch a und a-Kreuz ausdrücken. Aber er muss eben quadratisch sein.

Okay, und ich sagte schon, die Mittelwerte verhalten sich insbesondere genauso wie im klassischen Fall.

Und wenn man nun Gausswellenfunktionen hat, wenn man akzeptiert hat, dass man für alle Zeiten eine Gausswellenfunktion hat,

dann wird die nicht durch besonders viele Parameter beschrieben.

Und tatsächlich reicht es, sie vollständig zu beschreiben, wenn man erstens diese Erwartungswerte kennt.

Oder anstelle von Erwartungswert von x und p kann ich auch einfach den Erwartungswert des Vernichtes a hinschreiben,

weil der ist ja so etwas wie x plus ip.

Und dann brauche ich noch Erwartungswerte, die mir letztlich sagen, wie sind die Varianzen?

Was wäre x² gemittelt oder p² gemittelt und auch x·p gemittelt, also die Korrelation.

Und wenn ich verschiedene Oszillatoren habe, dann muss ich mich auch fragen, oh, was ist die Korrelation zwischen x1 und x5?

Vielleicht sind die ja miteinander korreliert, diese Auslenkungen.

Und das kann ich dann auch hinschreiben, indem ich a l Kreuz von t a j von t betrachte zwischen verschiedenen Oszillatoren l und j.

Und unter Umständen auch a l von t a j von t.

Wenn ich diese drei Arten von Erwartungswerten kenne, dann kann ich mir dadurch vollständig die gaussförmige Wellenfunktion rekonstruieren.

Das heißt, wenn ich mal gestartet bin im Gausszustand, dann brauche ich nur noch die Zeitentwicklung hiervon verfolgen.

Und das geht auch einfach genug, weil die Zeitentwicklung hiervon, wie gesagt, das ist praktisch die klassische Zeitentwicklung von x und p.

Und die Zeitentwicklung hiervon, nun, da setze ich einfach die Heisenberg Bewegungsgleichung ein.

Das heißt, ich wende die Zeiterbleitung hier drauf an, setze dann die Heisenberg Bewegungsgleichung ein,

werde finden, dass zum Beispiel die Zeitentwicklung von a j ist ja dann linear in den a s.

Und das heißt, die Zeitentwicklung dieses ganzen Korrelators wird auch wieder dargestellt werden durch Korrelatoren von diesem Typ.

Und unter Umständen auch noch von diesem Typ.

Das heißt, ich bekomme ein geschlossenes System von Gleichungen, das kann ich lösen.

Das hier sind zum Beispiel n mal n verschiedene solche Korrelatoren.

Hier nochmal genauso viele, hier sind es nur n verschiedene Erwartungswerte.

Bekomme ich einen geschlossenen Satz von Differentialgleichungen und den kann ich lösen.

Und dann weiß ich vollständig, wie meine Wellenfunktion sich verhält.

Und es gibt schon ungeheuer viele interessante Situationen, die man genau damit beschreiben kann.

Zum Beispiel, wenn man in der Quantenoptik dann in einem nichtlinären Medium sogenannte gequetschte Zustände herstellt,

führt es genau auf diese Dinge.

Okay.

Von welcher Gestalt sind nun diese gaussförmigen Wellenfunktionen?

Da erinnern wir uns zurück an den einzelnen Oszillator.

Und wir hatten eigentlich nur zwei verschiedene Typen.