Hallo, bei letztem verbliebene Teil zu unserem Thema Reihen ist jetzt das Thema Potenzreihen

und die Funktion, exponential Funktion, Sinus, Coses und der Logarithmus. Das machen wir jetzt als nächstes.

Potenzreihen sind eine spezielle Form an der Reihe, wo die Koffizienten über die summiert wird,

noch von einem Parameter abgelenkt. Diesen Parameter nennen wir x und später werden wir

das als eine Funktion von x betrachten. Bisher waren Reihen nur Objekte der Form k gleich

von 0 bis unendlich, bk. Das ist die Reihe s. Das ist ein Objekt, von dem wir sagen,

das konvegiert entweder, oder das konvegiert nicht. Typischerweise ist es eine Zahl und

diese Zahl könnte unendlich sein oder minusunendlich oder ist divigiert und hat überhaupt keinen Wert.

Und jetzt fügen wir hier so eine x-Abhängigkeit hier rein, indem wir das jetzt hier mit x

minus x0 hoch k zu multiplizieren. Und damit bekommen wir jetzt zu jedem Punkt x entweder

aus R oder aus C eine Reihe. Das heißt wir haben eine Funktion, die wir auswerten können

in Punkten x. Und Potenzreien haben eben genau diese Strukturen und sind extrem wichtig.

Das ist eine Potenzreihe, die definieren wir so. Wir haben einen sogenannten Mittelpunkt x0

aus C oder R und x ist eine Variable wieder aus C oder R. Dann haben wir Koffizienten ak,

diese Koffizienten ak sind eine Folge in C oder R und dann haben wir das hier,

dieses Objekt hier, das nennen wir die Potenzreihe. Das heißt hier muss man sich wieder fragen,

also das ist natürlich definiert als der Grenzwert für n, g und n, l, der Partialsummen ak mal x

minus x0 hoch k. Das heißt jetzt müssen wir für jeden Punkt x, den wir einsetzen können,

entscheiden, ob diese Reihe hier konvegiert wird. Also eine unendliche Menge an Reihen,

die parametrisiert ist durch dieses x hier. Ein wichtiges Thema wird sein sich zu überlegen,

wann konvergiert diese Reihe in Anhängigkeit von x und natürlich auch den Koffizienten an.

Dann wenn wir nur bis n summieren, also diese diese nten Partialsumme, dann muss ich hier

anschauen, dann sind es natürlich Polynome, weil wir lauter Potenzen von x minus x0 hoch k haben.

Also zum Beispiel ganz konkret s2 von x ist a0 plus a1 mal x minus x0 plus a2 mal x minus x0

hoch 2. Das ist ein Polynom von Grad 2 zum Beispiel. Das heißt wir schauen uns ein

unendliches Polynom an und das sind diese Potenzreine hier. Meistens setzt man x0 durch 0 und dann haben

Potenzreine diese Form hier. Aber das ist im Wesentlichen einfach nur einmal eine Verschiebung

der Funktion um x0. Wenn wir zum Beispiel mit Punkt 0 setzen und alle Koffizienten auf 1 setzen,

dann bekommen wir diese Reihe hier, also die Summe über alle x minus 0 hoch k mit 1 davor.

Das heißt wir haben hier das hier, also 1 plus x plus x² plus x hoch 3 und so weiter.

Man kann sich jetzt fragen, wann kommt mir das jetzt hier? Und genauso wenn wir x0 durch 0 setzen und a k

durch 1 durch k Fokultät setzen, dann bekommen wir diese Reihe hier. Das ist 1 plus x plus x

quadrat halbe plus x hoch 3 sechstel plus x hoch 4 24 und so weiter. Und so wie diese Reihe jetzt hier aussieht,

sieht man, also wenn wir zum Beispiel x gleich 1 setzen, dann steht hier 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1.

Das konfiguriert offenbar nicht, das ist demagiert gegen plus und endlich. Das heißt x gleich 1 hier einzusetzen ist schon zu viel.

Wenn x gleich 0 einsetzen, steht hier 1 plus 0 plus 0 plus 0, da kommt gleich 1 raus.

Das heißt mit 4x gleich 0 konfiguriert diese Reihe, 4x gleich 1 konfiguriert diese Reihe nicht.

Und hier x gleich 0 konfiguriert wieder, ist wieder gleich 1. Und wenn wir es hier 1 einsetzen,

haben wir also 4x gleich 1, haben wir hier die Summe über die 1 hoch k, das ist einfach nur 1, durch k Fokultät.

Und da wissen wir, das ist kleiner als unendlich. Das haben wir bereits gezeigt.

Das ist im übrigen einfach nur e. Das ist die eulerische Zahl e, so haben wir die definiert sogar.

Das heißt, diese Konfizienten, die davor stehen, diese ak, die machen offenbar, dass wir entweder

mehr oder weniger von x einsetzen dürfen hier zum Beispiel.

Hier bestrafen diese Konfizienten, diese späteren Konfizienten stark.

x auf 4 ist mit 1 durch 24 versehen und so weiter. Das heißt wir können hier größere x einsetzen und die Reihe konfiguriert immer noch.

Also auf dieser Beobachtung jetzt zugrunde legen, kann man uns die Frage stellen, für welche x konfiguriert die Potenzialis von x.

Was wir uns gerade überlegt haben, muss natürlich davon abhängen, was die Konfizienten a1 sind.

Das muss davon abhängen, weil wir gerade zwei Reihen gefunden haben, wo x gleich 1, da ist die Konvergenz da divergent und hier ist die aber konvergent.

Also wir wollen eigentlich ein Kriterium finden für die ak, die uns erlaubt zu begründen, warum diese Reihe für gewisse x konfiguriert oder nicht konfiguriert.

Wir definieren jetzt das hier als eine Funktion, so wie ich es vorhin schon hingeschrieben habe.