Ja, meine Damen und Herren, herzlich willkommen. Es hat sich etwas gelehrt inzwischen. Wir waren ja beim letzten Mal fast fertig geworden mit den Stäben.

Also wir waren ja im Abschnitt 2-2. Zug und Druckbeanspruchung.

Und was noch fehlte, war der letzte Abschnitt, das ist relativ kurz, 2.2.3 Mehrbereichsaufgaben.

Ein bisschen leiser sein vielleicht. Danke.

Mehrbereichsaufgaben versteht man ein Problem, bei dem man, so wie wir das bei den Schnittgrößen von den Balken schon kennen, halt seinen Bereich, seinen jetzt Stab in mehrere Abschnitte teilen muss.

Vielleicht dadurch, dass sich Querschnittssprünge oder dergleichen ergeben. Ja, also ich habe hier verschiedene Stabteile, die sind jetzt sehr kurz und gedrungen.

Das sollten eigentlich irgendwelche Stäbe sein, aber sonst kriege ich das hier nicht mehr aufs Bild drauf.

Ich kann hier durchschneiden, meinetwegen, und das geht hier irgendwie hier unten irgendwie weiter. Das heißt, ich habe hier einzelne Stababschnitte, die ich meinetwegen von oben durchnummeriere, L1, L2 und so weiter.

Bis ich hier irgendwo den Abschnitt Li habe. Also ich habe irgendwie so ein abgesetztes System, das aus lauter solchen einzelnen Stücken besteht, die jetzt nicht durch eine kontinuierliche Funktion beschrieben können,

so wie wir das beim letzten Mal gemacht hatten, wo wir irgendwie einen veränderlichen Querschnitt hatten, wo ich a von x als eine Funktion angeben kann, sondern ich habe jetzt tatsächlich hier diese, meinetwegen a von x, Bereichweise angegeben.

Gut, das kann ich genauso lösen, wie ich das vorher gemacht habe, indem ich meine jeweilige Differentialgleichung Bereichsweise aufstelle. Das heißt, ich habe hier insgesamt n Bereiche.

Wenn das hier unten, ich muss mich doch nochmal unten anmalen, hier geht das, also ich mache das mal hier drüber, Li hier, ich schneide das hier durch, lasse das weg, habe hier irgendwie abgeschnitten, geht das hier weiter.

Hier unten ist meinetwegen nochmal so ein Ende bis Ln. Also ich habe insgesamt n solche Bereiche und daraus folgt, ich habe auch n Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Das waren die Stabdifferentialgleichungen, die wir beim letzten Mal hatten und wenn ich die zweimal hoch integriere, formal, dann muss ich diese Differentialgleichung zweiter Ordnung zweimal auf integrieren.

Das heißt, ich bekomme 2n Integrationskonstanten. Also für jede Differentialgleichung muss ich, das ist immer die gleiche Differentialgleichung, aber ich mache das für jeden Abschnitt, schreibe ich das hin.

Dann integriere ich die zweimal hoch, dann bekomme ich bei dem zweimaligen integrieren 2 Integrationskonstanten, aber das für n Abschlitte, weil ich das 1, 2, 3, 4, 5 bis n mal machen muss, dann habe ich also insgesamt 2n solche Konstanten.

Was ich jetzt habe, sind natürlich erstmal, so wie wir das beim letzten Mal gemacht haben, ich kann die Randbedingungen ranziehen, um die Integrationskonstanten zu bestimmen, aber natürlich habe ich für so ein System, das mein ich, wie jetzt oben und unten fest eingespannt ist oder auch frei ist an dem einen Ende, nur 2 Randbedingungen.

Also einmal am Anfang von L1 und am Ende von Ln hätte ich, meinetwegen wüsste ich, dass das U gleich Null ist. Ja, oben und unten ist U gleich Null, das sind zwei Bedingungen, aber die zwei Bedingungen reichen natürlich für 2n Unbekannte nicht aus.

Das heißt es fehlen mir Bedingungen, die bekomme ich aber durch die Übergangsbedingungen, denn diese einzelnen Stababschnitte, die hängen natürlich zusammen an einzelnen Punkten.

Das heißt hier an diesen Übergängen, wo zwei Abschnitte zusammenstoßen sozusagen, wo die zusammengebaut sind, zusammen geschweißt sind, die hängen ja da fest zusammen, gibt es Übergangsbedingungen.

Das heißt ich habe jetzt zusätzlich plus 2 mal N minus 1 Übergangsbedingungen, denn ich habe zwischen N Abschnitten, wenn ich 1 bis N Abschnitte habe, habe ich immer N minus 1 Übergänge.

Ich habe also N minus 1 Trennstellen sozusagen, zwischen N Abschnitten gibt es N minus 1 Übergänge und an jedem der Übergänge habe ich zwei Bedingungen und die kann man sich jetzt überlegen,

indem ich nämlich an so einem Übergang zwischen zwei Teilen freischneide, mal mir das anschauen, was habe ich da, also ich habe hier meinetwegen den einen Teil und hier unten schließt ein anderer Teil an, ich schneide das raus sozusagen,

habe hier den Abschnitt, wie nenne ich den, das ist Li und hier unten drunter wäre Li plus 1 der nächste und ich habe hier meinetwegen ein Koordinatensystem eingeführt für jeden der Abschnitte,

dann wäre das hier das Xi plus 1 und hier im oberen Abschnitt wäre hier das Xi, läuft dahin und jetzt könnte ich mir das anschauen, wenn ich das sozusagen hier den Schnitt immer enger ranlege,

also mit Xi gehe bis Li und das Xi plus 1 auf Null setze, dann habe ich sozusagen, schneide ich direkt oberhalb und unterhalb dieses Überganges und dann muss auch diese rausgeschnittene Stückchen sozusagen im Gleichgewicht stehen

und da kommt zum einen natürlich raus, wir wollen noch zulassen, dass da eine Einzelkraft angreift, Fi an der Stelle, habe ich hier natürlich meine Stabkraft, Si plus 1 und hier oben Si und an dem Schnitt dürfte auch noch eine Kraft angreifen,

dann gilt hier die statische Übergangsbedingung, ich schreibe mal ÜB Übergangsbedingung, wäre das Summe der Kräfte in X Richtung gleich Null,

hätte ich hier minus Si an der Stelle Xi gleich Li, das heißt also sozusagen das Si soll das sein, nicht 1,

an der Stelle Xi Li, also wenn ich direkt hier drüberschneide, zeige ich die negative Richtung plus das Si plus 1 an der Stelle Xi plus 1 gleich Null,

das wäre sozusagen, ich betrachte das hier direkt an der Kante hier von der anderen Seite plus noch ein Fi soll Null sein und daraus würde ich halt eine Bedingung bekommen,

die ich hinschreiben kann, meinetwegen als, dass das Si Xi gleich Li minus Si plus 1 an der Stelle Xi plus 1 gleich Null gleich dem Fi ist,

zum Beispiel könnte ich so hinschreiben, das ist die eine Bedingung und das kann ich jetzt natürlich an jedem der N minus 1 Übergänge machen und ich habe natürlich noch eine geometrische Übergangsbedingung

oder kinematische Übergangsbedingung, die Verschiebung an diesem Punkt oberhalb des Schnitz und die Verschiebung unterhalb des Schnitz, die müssen natürlich gleich sein,

der Stab hängt da ja zusammen, das heißt die beiden Punkte können sich nicht unterschiedlich verschieben, sonst würde das sich auseinander klaffen oder ineinander eindringen irgendwie, das heißt die müssen ober- und unterhalb gleich sein,

das heißt das Ui an der Stelle Xi gleich Li muss sein dem Ui plus 1 an der Stelle Xi plus 1 gleich Null, das heißt das ist sozusagen eine geometrische oder kinematische Zusammenhangsbeziehung,

der Stab hängt da natürlich fest zusammen an der Stelle, das heißt die Verschiebung links und rechts dieses Übergangs muss gleich sein, oberhalb unterhalb hier, der Punkt hier direkt da drüber und der Punkt direkt da drunter haben die gleiche Verschiebung,

die unterschiedlich wären, wäre das ja nicht ein Stab sozusagen, das geht nicht und es muss an dem Schnitt natürlich auch Gleichgewicht herrschen, also wenn ich mir sozusagen hier ein Scheibchen hier direkt dran rausschneide, das muss auch im Gleichgewicht sein.

Und das sind zwei Bedingungen, die ich jetzt für jeden der Schnitte angeben kann und ich habe dann 2 mal N minus 1 solche Übergangsbedingungen plus zwei Randbedingungen, nämlich ganz oben und ganz unten, entweder eine geometrische,

in diesem Fall wüsste ich, dass halt U1 an der Stelle Null ist und Un an der Stelle Ln gleich Null, ja das könnte auch irgendwas anderes sein und dann macht insgesamt, sind das aber dann wieder genau 2N Bedingungen.

Aus denen ich meine 2N Integrationskonstanten bestimmen kann, also ich habe immer so viele tatsächlich Bedingungen, wie ich auch Integrationskonstanten habe, das geht immer auf, wenn das nicht aufgeht, hat man irgendwas falsch gemacht.

Also es ist immer, dann fehlt irgendwie eine Bedingung oder man hat irgendwie bei dem integrieren Mist gebaut, also es gibt immer in so einem System, wenn ich das elastostatisch betrachte, immer ausreichend viele Bedingungen, entweder geometrische,

ja also solche kinematischen Zusammenhänge, dass die Verschiebungen irgendwie gleich sein müssen, links und rechts des Schnitts oder oberunterhalb des Schnitts, ja oder statische, dass nämlich irgendein Gleichgewicht herrschen muss, auch an einem Schnitt irgendwo,

ja um ausreichend viel Gleichung zu bekommen, um diese unbekannten Integrationskonstanten zu bestimmen. Das geht immer auf, ja das ist schön.

Das heißt im Prinzip, wenn ich mir jetzt nicht sozusagen überlege, ob ich jetzt geometrische oder kinematische Bedingungen habe, wenn ich die sozusagen als Gleichwerte hier betrachte,

ja das sind sie für rechentechnischen Sinn, die auch, das ist halt eine andere Gleichung, die ich erfüllen muss, ja, dann ist es sozusagen auch egal, ob das System statisch bestimmt oder unbestimmt ist, ja,

beim statisch bestimmten System reichen mir halt sozusagen die statischen Übergangsbedingungen aus, um alle Integrationskonstanten nach der ersten Integration der Differentialgleichung zu bestimmen

und ich brauche die geometrischen nur um den zweiten Satz, Integrationskonstanten zu bestimmen nach der zweiten Integration, ja.

Wenn ich das aber sozusagen nicht trennen möchte, dass ich das sozusagen stufenweise mache, sondern alles auf einmal, ja, dann habe ich einfach 2N-Konstanten und ich habe 2N-Bedingungen und dann ist da gar kein Unterschied mehr.

Das heißt, die Behandlung des statisch unbestimmten Systems funktioniert ganz genauso wie die des statisch bestimmten Systems, da muss man sich nicht mehr drum kümmern.